una cosa veloce, il mio breve ritorno alla matematica olimpica..
dunque, siano dati quattro numeri complessi $ a,b,c,d $: dimostrare che se $ |a|^2+|b|^2= ad-bc=1, a\bar{c}+b\bar{d}=0 $, allora $ |c|^2+|d|^2=1 $.
quickie (quattro complessi)
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Simo_the_wolf
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Ok visto che nessuno ci prova...
$ 1= |ad - bc |^2 = $
$ =( \bar { a}\bar{d} - \bar{b}\bar{c} )(ad -bc) = $
$ = \bar { a}\bar{d} ad + \bar {b}\bar{c} bc - \bar {b}\bar{c} ad - \bar{ a}\bar{d} bc= $
$ =|a|^2 |d|^2 + |b|^2 |c|^2 + (- a\bar{c}) d \bar{b} + (- b\bar{d} ) c \bar{a} = $
$ = |a|^2 |d|^2 + |b|^2 |c|^2 + b \bar{d} d \bar{b} + a\bar{c} c \bar{a} = $
$ = ( |a|^2 + |b|^2 )(|c|^2 + |d|^2 ) $
$ 1= |ad - bc |^2 = $
$ =( \bar { a}\bar{d} - \bar{b}\bar{c} )(ad -bc) = $
$ = \bar { a}\bar{d} ad + \bar {b}\bar{c} bc - \bar {b}\bar{c} ad - \bar{ a}\bar{d} bc= $
$ =|a|^2 |d|^2 + |b|^2 |c|^2 + (- a\bar{c}) d \bar{b} + (- b\bar{d} ) c \bar{a} = $
$ = |a|^2 |d|^2 + |b|^2 |c|^2 + b \bar{d} d \bar{b} + a\bar{c} c \bar{a} = $
$ = ( |a|^2 + |b|^2 )(|c|^2 + |d|^2 ) $
c'è anche un'altra soluzione, che usa quella di simo in maniera implicita...
poi qualcosa che metto in bianco per evitare di essere cazziato dai moderatori, che è il modo in cui mi sono inventato il problema...un uccellino mi ha scritto:mr hamilton e i suoi quaternioni chiamano...
e qualcuno che ha dato geometria 1 ha scritto:le condizioni di sopra dicono che una certa matrice (chissà poi quale...) ha una certa proprietà...