Ciaoo a tutti...sono nuovo in questo forum e frequento il 5 liceo...sto' avendo difficolta' del risolvere i seguenti problemi...
Un elettrone si trova,inizialmente fermo,in un campo elettrico uniforme di intensita' E=10^3 V/m.Determinare la sua velocita',dopo un volo di 10cm eseguito sotto l'azione delle sole forze del campo.
RISULTATO: V=5.93*10^6m^2
Data la distribuzione di carica lineare indefinita,caratterizzata dalla densità lineare σ=10^-8 Coloumb/metri e data una sferetta di massa M=0.01g e carica Q=-10^-8 C,posta sotto di essa,determinare a quale distanza dalla distribuzione la sferetta si troverà in equilibrio...
Io non ho ancora fatto gli integrali...dovrei risolverlo con le formule....come fare?ho fiducia in voi...se mi passate il contatto di MSN di qualcuno parliamo li'...THANKSSS!
Campo Elettrico Uniforme...Carica lineare indefinita
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JohnPetrucci
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- Iscritto il: 08 nov 2006, 19:50
Partiamo dal primo...
Il problema si risolve con le equazioni del moto rettilineo uniformemente accelerato. Una carica posta in un campo elettrico uniforme è sottoposta ad una forza che vale Q*E, dove Q è la carica ed E l'intensità del campo elettrico. Essendo poi $ a=\frac{F}{m} $ otteniamo $ a=\frac{QE}{m} $
Considerando le equazioni
$ S=\frac{1}{1}at^2 $
$ V=at $
otteniamo (sostistuendo il tempo della prima nella seconda equazione)
$ V^2=\frac{2SQE}{m} $, da cui $ V=5.93*10^6\frac{m}{s} $
NB:la massa dell'elettrone vale $ 9,1*10^{-31}kg $
Il problema si risolve con le equazioni del moto rettilineo uniformemente accelerato. Una carica posta in un campo elettrico uniforme è sottoposta ad una forza che vale Q*E, dove Q è la carica ed E l'intensità del campo elettrico. Essendo poi $ a=\frac{F}{m} $ otteniamo $ a=\frac{QE}{m} $
Considerando le equazioni
$ S=\frac{1}{1}at^2 $
$ V=at $
otteniamo (sostistuendo il tempo della prima nella seconda equazione)
$ V^2=\frac{2SQE}{m} $, da cui $ V=5.93*10^6\frac{m}{s} $
NB:la massa dell'elettrone vale $ 9,1*10^{-31}kg $
Ultima modifica di MateCa il 08 nov 2006, 21:56, modificato 1 volta in totale.
Parlare oscuramente lo sa fare ognuno, ma chiaro pochissimi. (G. Galilei)
...e continuiamo con il secondo...
Il problema intende una distribuzione filiforme di cariche, per cui il campo elettrico E ad una distanza r dalle cariche vale $ E=\frac{\sigma}{2 \pi \epsilon_0 r} $
La carica posta sotto il filo deve essere in equilibrio, per cui la forza dovuta al campo elettrico deve essere eguagliata dalla forza peso (essendo le cariche del filo e del corpo di segno opposto, esse si attraggono).
Quindi
$ QE=Mg $ da cui $ \frac{Q \sigma}{2 \pi \epsilon_0 r}=Mg $
per cui
$ r=\frac{Q \sigma}{2 \pi \epsilon_0 Mg}=1,83*10^{-2} m $
NB:$ \sigma $ è la densità di carica
$ \epsilon_0 $ è la costante dielettrica del vuoto $ 8,85*10^{-12} $ (le dimensioni si ricavano facilmente)
Spero di essere stato chiaro...
Il problema intende una distribuzione filiforme di cariche, per cui il campo elettrico E ad una distanza r dalle cariche vale $ E=\frac{\sigma}{2 \pi \epsilon_0 r} $
La carica posta sotto il filo deve essere in equilibrio, per cui la forza dovuta al campo elettrico deve essere eguagliata dalla forza peso (essendo le cariche del filo e del corpo di segno opposto, esse si attraggono).
Quindi
$ QE=Mg $ da cui $ \frac{Q \sigma}{2 \pi \epsilon_0 r}=Mg $
per cui
$ r=\frac{Q \sigma}{2 \pi \epsilon_0 Mg}=1,83*10^{-2} m $
NB:$ \sigma $ è la densità di carica
$ \epsilon_0 $ è la costante dielettrica del vuoto $ 8,85*10^{-12} $ (le dimensioni si ricavano facilmente)
Spero di essere stato chiaro...
Parlare oscuramente lo sa fare ognuno, ma chiaro pochissimi. (G. Galilei)
Problema 1, altro metodo)L'elettrone si sposta perdendo energia potenziale ed acquistando energia cinetica. Ponendo
$ K=\frac{1}{2}*m*v^2=q*\Delta V=q*E*\Delta S $
Si ricava $ v=\sqrt{\frac{2qE\Delta S}{m}}=5,93*10^6 m/s $
Problema 2)Legge di Gauss intorno al filo per trovare il campo elettrico a distanza R. Prendiamo un cilindro di raggio R e lunghezza L. Si ottiene:
$ \epsilon_0 \phi =q_{int} $
$ \epsilon_0 E 2 \pi R L = L \lambda $
$ E=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 R} $
La forza elettrica vale $ F_e = q*E $, quella di gravità $ F_g=m*g $. Uguagliando si ottiene
$ R=\frac{q*\lambda}{2\pi \epsilon_0 m g}=1,8cm $
Se non sai la legge di Gauss devi sapere a memoria la formula che ha detto MateCa e che ho ricavato io ed usare subito quella (io non la ricordo mai e me la ricavo).
$ K=\frac{1}{2}*m*v^2=q*\Delta V=q*E*\Delta S $
Si ricava $ v=\sqrt{\frac{2qE\Delta S}{m}}=5,93*10^6 m/s $
Problema 2)Legge di Gauss intorno al filo per trovare il campo elettrico a distanza R. Prendiamo un cilindro di raggio R e lunghezza L. Si ottiene:
$ \epsilon_0 \phi =q_{int} $
$ \epsilon_0 E 2 \pi R L = L \lambda $
$ E=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 R} $
La forza elettrica vale $ F_e = q*E $, quella di gravità $ F_g=m*g $. Uguagliando si ottiene
$ R=\frac{q*\lambda}{2\pi \epsilon_0 m g}=1,8cm $
Se non sai la legge di Gauss devi sapere a memoria la formula che ha detto MateCa e che ho ricavato io ed usare subito quella (io non la ricordo mai e me la ricavo).
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JohnPetrucci
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- Iscritto il: 08 nov 2006, 19:50
.....
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JohnPetrucci
- Messaggi: 5
- Iscritto il: 08 nov 2006, 19:50
@ Pigkappa
Mi puoi spiegare brevemente come si ottiene la formula:
In particolare, $ \lambda $ indica la densità di carica lineare (e quindi si misura in C/m):?:
Mi puoi spiegare brevemente come si ottiene la formula:
a scuola non l'abbiamo fatta ed io effettivamente ho preso la formula e l'ho imparata a memoria...Pigkappa ha scritto:$ \epsilon_0 \phi =q_{int} $
$ \epsilon_0 E 2 \pi R L = L \lambda $
In particolare, $ \lambda $ indica la densità di carica lineare (e quindi si misura in C/m):?:
Parlare oscuramente lo sa fare ognuno, ma chiaro pochissimi. (G. Galilei)
Ormai rispondo domani per bene, comunque si, con lambda indicavo la densità di carica lineare. Quella formula sopra è il teorema di gauss, lo spiego domani che ora casco di sonno, ciaoMateCa ha scritto:@ Pigkappa
Mi puoi spiegare brevemente come si ottiene la formula:
a scuola non l'abbiamo fatta ed io effettivamente ho preso la formula e l'ho imparata a memoria...Pigkappa ha scritto:$ \epsilon_0 \phi =q_{int} $
$ \epsilon_0 E 2 \pi R L = L \lambda $
In particolare, $ \lambda $ indica la densità di carica lineare (e quindi si misura in C/m):?:
Eccomi, ci provo...
La legge di Gauss è equivalente alla legge di Coulomb ($ F_e = \frac{1}{4*\pi \epsilon_0}*\frac{q_1q_2}{r^2} $). Si definisce intanto il flusso di campo elettrico $ \phi $ attraverso una superficie chiusa in questo modo:
$ \phi = \int \vec{E} . d\vec{A} $
Dove il puntino sta per significare che è un prodotto scalare (la x col latex non so come farla senza che sembri un'incognita). Il simbolo di integrale in genere ha un cerchietto in mezzo per indicare che si tratta di una superficie chiusa. dA è un vettore areale, cioè un vettore che rappresenta l'area di un piccolo quadratino, che ha per modulo l'area del quadratino, direzione e verso uscenti dal quadratino stesso. In realtà poi per usare la legge di Gauss di integrali se ne fanno ben pochi. Qualunque cosa immersa, per esempio, in un campo elettrico uniforme ha $ \phi=0 $ perchè le linee di forza entranti escono tutte.
La legge di Gauss dice che:
$ \epsilon_0 * \phi = q_{int} $
Dove la carica è quella interna alla superficie chiusa, che la contiene.
La convenienza della legge di Gauss sta nella possibilità che dà di sfruttare utili simmetrie (e di non fare integrali pesanti che invece potrebbero essere necessari con la legge di Coulomb). Rifaccio l'esempio del filo con densità di carica lineare $ \lambda $. Noi possiamo dire con certezza che il campo elettrico in due punti alla stessa distanza dal filo è lo stesso. Pensiamo di prendere un cilindro di raggio R e altezza L intorno a questo filo, e pensiamo che l'asse di questo cilindro sia il filo stesso (fatti la figura magari). Allora
$ \epsilon_0 \phi = q_{int} $
$ \epsilon_0 \int \vec{E} . d\vec{A} = q_{int} $
Consideriamo la superficie laterale del cilindro (il flusso dovuto alle basi del cilindro è zero).
Il campo elettrico è sempre parallelo a dA ed è uniforme in ogni punto della superficie che stiamo considerando. Perciò possiamo tirarlo fuori dall'integrale.
$ \epsilon_0 E \int d\vec{A} = q_{int} $
La carica interna è data dalla lunghezza considerata per la densità, cioè $ q_{int}= \lambda * L $. L'integrale non è altor che la somma di tutti i dA, cioè la superficie laterale del cilindro, cioè $ 2*\pi *R*L $. Allora
$ \epsilon_0 E 2*\pi *R*L = \lambda * L $
Da cui $ E = \frac{\lambda}{2 \epsilon_0 \pi R} $
All'inizio non è semplicissimo, effettivamente... Ci vuole un po' di esercizio e di tempo magari per imparare ad usarla, ma permette di non studiarsi a memoria le formule per fili infinito, spazi infiniti, sfere e così via, ed in certi casi saltano fuori problemi su questa anche alle olimpiadi.
Un esercizio facile e utile per iniziare è dimostrare che la legge di Coulomb si può ricavare dalla legge di Gauss.
La legge di Gauss è equivalente alla legge di Coulomb ($ F_e = \frac{1}{4*\pi \epsilon_0}*\frac{q_1q_2}{r^2} $). Si definisce intanto il flusso di campo elettrico $ \phi $ attraverso una superficie chiusa in questo modo:
$ \phi = \int \vec{E} . d\vec{A} $
Dove il puntino sta per significare che è un prodotto scalare (la x col latex non so come farla senza che sembri un'incognita). Il simbolo di integrale in genere ha un cerchietto in mezzo per indicare che si tratta di una superficie chiusa. dA è un vettore areale, cioè un vettore che rappresenta l'area di un piccolo quadratino, che ha per modulo l'area del quadratino, direzione e verso uscenti dal quadratino stesso. In realtà poi per usare la legge di Gauss di integrali se ne fanno ben pochi. Qualunque cosa immersa, per esempio, in un campo elettrico uniforme ha $ \phi=0 $ perchè le linee di forza entranti escono tutte.
La legge di Gauss dice che:
$ \epsilon_0 * \phi = q_{int} $
Dove la carica è quella interna alla superficie chiusa, che la contiene.
La convenienza della legge di Gauss sta nella possibilità che dà di sfruttare utili simmetrie (e di non fare integrali pesanti che invece potrebbero essere necessari con la legge di Coulomb). Rifaccio l'esempio del filo con densità di carica lineare $ \lambda $. Noi possiamo dire con certezza che il campo elettrico in due punti alla stessa distanza dal filo è lo stesso. Pensiamo di prendere un cilindro di raggio R e altezza L intorno a questo filo, e pensiamo che l'asse di questo cilindro sia il filo stesso (fatti la figura magari). Allora
$ \epsilon_0 \phi = q_{int} $
$ \epsilon_0 \int \vec{E} . d\vec{A} = q_{int} $
Consideriamo la superficie laterale del cilindro (il flusso dovuto alle basi del cilindro è zero).
Il campo elettrico è sempre parallelo a dA ed è uniforme in ogni punto della superficie che stiamo considerando. Perciò possiamo tirarlo fuori dall'integrale.
$ \epsilon_0 E \int d\vec{A} = q_{int} $
La carica interna è data dalla lunghezza considerata per la densità, cioè $ q_{int}= \lambda * L $. L'integrale non è altor che la somma di tutti i dA, cioè la superficie laterale del cilindro, cioè $ 2*\pi *R*L $. Allora
$ \epsilon_0 E 2*\pi *R*L = \lambda * L $
Da cui $ E = \frac{\lambda}{2 \epsilon_0 \pi R} $
All'inizio non è semplicissimo, effettivamente... Ci vuole un po' di esercizio e di tempo magari per imparare ad usarla, ma permette di non studiarsi a memoria le formule per fili infinito, spazi infiniti, sfere e così via, ed in certi casi saltano fuori problemi su questa anche alle olimpiadi.
Un esercizio facile e utile per iniziare è dimostrare che la legge di Coulomb si può ricavare dalla legge di Gauss.