Soluzioni intere a tre variabili
Soluzioni intere a tre variabili
Si dimostri che $ x^2+y^2+z^2=2xyz $ non ha soluzioni intere ad eccezione di $ x=y=z=0 $. Ci sono almeno due modi di farlo...trovateli
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]
Caso 1)Due tra x, y e z sono dispari, uno è pari. Sia wlog z pari e x e y dispari. Si ponga $ z=2z_1 $. Allora si ha:
$ x^2+y^2+4z_1^2 = 4xyz_1 $
Assurda modulo 4 perchè x e y sono dispari.
Caso 2)x, y e z sono pari. Allora $ x=2^{\alpha_x}x_1 $, $ y^{\alpha_y}=2y_1 $, $ z=2^{\alpha_z}z_1 $, con $ x_1,y_1,z_1 $ dispari, e wlog $ \alpha_x \geq \alpha_y \geq \alpha_z $
$ 2^{2\alpha_x}x_1^2+2^{2\alpha_y}y_1^2+2^{2\alpha_z}z_1^2=2^{\alpha_x+\alpha_y+\alpha_z+1}*x_1y_1z_1 $
Possiamo semplificare impunemente un fattore $ 2^{2\alpha_z} $ e otteniamo
$ 2^{2\alpha_x-2\alpha_z}x_1^2+2^{2\alpha_y-2\alpha_y}y_1^2+z_1^2=2^{\alpha_x+\alpha_y-\alpha_z+1}*x_1y_1z_1 $
Questa è sicuramente vera sia nel caso che il membro a sinistra sia dispari (allora si vede subito) sia nel caso che sia pari (si riconduce al caso 1)
$ x^2+y^2+4z_1^2 = 4xyz_1 $
Assurda modulo 4 perchè x e y sono dispari.
Caso 2)x, y e z sono pari. Allora $ x=2^{\alpha_x}x_1 $, $ y^{\alpha_y}=2y_1 $, $ z=2^{\alpha_z}z_1 $, con $ x_1,y_1,z_1 $ dispari, e wlog $ \alpha_x \geq \alpha_y \geq \alpha_z $
$ 2^{2\alpha_x}x_1^2+2^{2\alpha_y}y_1^2+2^{2\alpha_z}z_1^2=2^{\alpha_x+\alpha_y+\alpha_z+1}*x_1y_1z_1 $
Possiamo semplificare impunemente un fattore $ 2^{2\alpha_z} $ e otteniamo
$ 2^{2\alpha_x-2\alpha_z}x_1^2+2^{2\alpha_y-2\alpha_y}y_1^2+z_1^2=2^{\alpha_x+\alpha_y-\alpha_z+1}*x_1y_1z_1 $
Questa è sicuramente vera sia nel caso che il membro a sinistra sia dispari (allora si vede subito) sia nel caso che sia pari (si riconduce al caso 1)
Alla fine la soluzione è la stessa... comunque un altro modo di scriverla sarebbe:
Se (x,y,z) è soluzione, allora (x,-y,-z) lo è anche, quindi basterà considerare solo le soluzioni positive (tra x,y,z quelli negativi sono 0 o 2).
Tra tutte le soluzioni positive (x,y,z) prendiamo una che ha la somma x+y+z minima. Infatti, x + y + z è un intero positivo, e ogni insieme di interi positivi ha minimo.
Ora, si vede che devono essere tutti e 3 pari, e quindi anche $ (\frac x2, \frac y2, \frac z2) $ è soluzione, ma questa somma è minore di quella prima, assurdo.
Se (x,y,z) è soluzione, allora (x,-y,-z) lo è anche, quindi basterà considerare solo le soluzioni positive (tra x,y,z quelli negativi sono 0 o 2).
Tra tutte le soluzioni positive (x,y,z) prendiamo una che ha la somma x+y+z minima. Infatti, x + y + z è un intero positivo, e ogni insieme di interi positivi ha minimo.
Ora, si vede che devono essere tutti e 3 pari, e quindi anche $ (\frac x2, \frac y2, \frac z2) $ è soluzione, ma questa somma è minore di quella prima, assurdo.
Bene anche questa un tubero, hemm... ho scritto una grande cazzata!
Cerco di tamponare, con una soluzione uguale a quella di PigKappa, ma devo proprio tamponare dopo una figuraccia del genere!
L'errore sta nel fatto che x/2,y/2,z/2 non è un corno una soluzione, ovviamente, perchè l'equazione è omogenea.
Sia k il massimo intero positivo tale che $ 2^k | (x,y,z) $.
Allora $ x=2^ka,y=2^kb,z=2^kc $, uno dei tre, mettiamo a, è dispari.
Sostituendo, otteniamo:
$ ~ 2^{2k}(a^2+b^2+c^2)=2^{3k+1}abc $
$ ~ a^2+b^2+c^2 = 2^{k+1}abc $
Ora, siccome a è dispari, essendo RHS pari, uno tra b e c, mettiamo b, deve anche essere dispari. Ma allora $ a^2+b^2+c^2 \equiv 1 + 1 + 0 \pmod 4 $, mentre RHS è divisibile per 4.
Cerco di tamponare, con una soluzione uguale a quella di PigKappa, ma devo proprio tamponare dopo una figuraccia del genere!
L'errore sta nel fatto che x/2,y/2,z/2 non è un corno una soluzione, ovviamente, perchè l'equazione è omogenea.
Sia k il massimo intero positivo tale che $ 2^k | (x,y,z) $.
Allora $ x=2^ka,y=2^kb,z=2^kc $, uno dei tre, mettiamo a, è dispari.
Sostituendo, otteniamo:
$ ~ 2^{2k}(a^2+b^2+c^2)=2^{3k+1}abc $
$ ~ a^2+b^2+c^2 = 2^{k+1}abc $
Ora, siccome a è dispari, essendo RHS pari, uno tra b e c, mettiamo b, deve anche essere dispari. Ma allora $ a^2+b^2+c^2 \equiv 1 + 1 + 0 \pmod 4 $, mentre RHS è divisibile per 4.
Allora, se nessuno ci prova lo posto io.
LHS è pari: quindi o è pari un termine o tutti e tre; se solo uno fosse pari sarebbe $ RHS \equiv 0 \pmod{4} $ e $ LHS \equiv 2 \pmod{4} $, contraddizione. Quindi sono tutti pari. Sia $ x=2x_1, y=2y_1, z=2z_1 $. Otteniamo: $ x_1^2+y_1^2+z_1^2=4x_1y_1z_1 $. Procedendo come prima arriviamo al punto che $ x=2x_1=2^2x_2=2^3x_3=\cdots =2^nx_n $, e lo stesso vale per $ y $ e $ z $. Il che significa che $ 2^\infty |x, 2^\infty |y, 2^\infty |z $ :ciò è possibile solo per $ x=y=z=0 $.
LHS è pari: quindi o è pari un termine o tutti e tre; se solo uno fosse pari sarebbe $ RHS \equiv 0 \pmod{4} $ e $ LHS \equiv 2 \pmod{4} $, contraddizione. Quindi sono tutti pari. Sia $ x=2x_1, y=2y_1, z=2z_1 $. Otteniamo: $ x_1^2+y_1^2+z_1^2=4x_1y_1z_1 $. Procedendo come prima arriviamo al punto che $ x=2x_1=2^2x_2=2^3x_3=\cdots =2^nx_n $, e lo stesso vale per $ y $ e $ z $. Il che significa che $ 2^\infty |x, 2^\infty |y, 2^\infty |z $ :ciò è possibile solo per $ x=y=z=0 $.
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]