Sia ABC un triangolo e sia O il suo circocentro. Sia D il vertice del triangolo isoscele con base AC, nel semipiano opposto rispetto a B, tale che $ \measuredangle ADC=\measuredangle ABC $ e sia E il vertice del triangolo isoscele di base CB nel semipiano opposto rispetto a A, tale che $ \measuredangle BEC=\measuredangle CAB $.
Dimostrare che ABC è retto in C se e solo se DO+OE=AB+BC+CA.
Rettitudine metrica
Siccome l'angolo $ ADC=ABC $, D deve trovarsi (nel semipiano AC opposto a B) sulla circonferenza simmetrica a quella circoscritta as $ ABC $. Il suo centro $ O' $ è simmetrico ad O rispetto ad AB. Inoltre, essendo ADC isoscele, D si trova sull'asse di AC, cioè $ OO' $.
Lo stesso vale per trovare E.
Quindi $ DO+EO=DO'+EO'+DM+MO+EN+NO $$ =2r + 2OM+2ON $ dove M,N sono i punti medi e R e il raggio della circ. circoscritta.
E poi... boh vado avanti domani se riesco.
Indico gli angoli in A e in B con a e b ed inoltre ricordo la formula:
cot(x/2)=(1+cosx)/sinx
1) Sia ABC rettangolo in C (fig1) e si prolunghino CE e AB fino ad intersecarsi
in R ;egualmente DC ed AB s'incontrino in S.
Dal parallelismo di AC ed OE segue che:
ACR=OEC=a/2 e poiche' OAC=a e' esterno al triangolo ARC si ha che ARC=a/2.
Pertanto i triangoli ORE e ARC sono isosceli e dunque:
OE=OR=OA+AR=OA+AC=AB/2+CA
Analogamente:
OD=OS=OB+BS=OB+BC=AB/2+BC e sommando:
OD+OE=AB+BC+CA
2)Sia ora (fig2):
OD+OE=AB+BC+CA
Risulta :
OD=ON+ND=Rcosb+NCcot(b/2)=Rcosb+Rsinb(1+cosb)/sinb=2Rcosb+R
Egualmente:
OE=2Rcosa+R e pertanto deve essere:
2Rcosa+2Rcosb+2R=2Rsina+2Rsinb+2Rsin(a+b)
Essendo a+b<180° ,tale ultima relazione e' verificata se e' a+b=90°
Leandro
Beh, da dove si era fermato Leandro, è solo un conticino: OD+OE=p è equivalente a
$ 1+\cos(\alpha)+\cos(\beta)=\sin(\alpha)+\sin(\beta)+\sin(\gamma) $
ovvero
$ \sin(\alpha)-\cos(\alpha)+\sin(\beta)-\cos(\beta)=1-\sin(\alpha+\beta) $
ovvero
$ 2(x-\sqrt{1-x^2})y+2x\sqrt{1-x^2}-1=0 $
dove abbiamo posto $ x=\sin((\alpha+\beta)/2) $ e $ y=\cos((\alpha-\beta)/2) $.
Quest'ultima relazione si fattorizza in
$ (x-\sqrt{1-x^2})(2y-x+\sqrt{1-x^2})=0 $
Ora, poichè il triangolo è acutangolo si deve annullare la prima parentesi e quindi il triangolo è rettangolo in C.
$ 1+\cos(\alpha)+\cos(\beta)=\sin(\alpha)+\sin(\beta)+\sin(\gamma) $
ovvero
$ \sin(\alpha)-\cos(\alpha)+\sin(\beta)-\cos(\beta)=1-\sin(\alpha+\beta) $
ovvero
$ 2(x-\sqrt{1-x^2})y+2x\sqrt{1-x^2}-1=0 $
dove abbiamo posto $ x=\sin((\alpha+\beta)/2) $ e $ y=\cos((\alpha-\beta)/2) $.
Quest'ultima relazione si fattorizza in
$ (x-\sqrt{1-x^2})(2y-x+\sqrt{1-x^2})=0 $
Ora, poichè il triangolo è acutangolo si deve annullare la prima parentesi e quindi il triangolo è rettangolo in C.