semplice identità australiana

[ramsey]

Semplice ma per risolverlo ho dovuto leggere una delle varie soluzioni

Si mostri che

$ \displaystyle\sum_{a+b=n}{n\choose a}{n-a\choose b }=2^n $

(a e b sono naturali non negativi)

[hydro]

Non vorrei dire stupidaggini, ma se la relazione è $ a+b=n \rightarrow b=n-a $, quindi $ \displaystyle \binom {n-a}{b}=\binom {n-a}{n-a}=1 $ e la sommatoria diventa $ \displaystyle \sum_{a=0}^n \binom {n}{a}=2^n $, come è ben noto a tutti...

[ramsey]

Certo , se vuoi puoi anche scrivere l' altra soluzione piu' simpatica interpretando i due lati dell' identità .

[sgiangrag]

forse ti riferisci a questo?
$ \displaystyle \binom {n-a}{b}=\binom {n-a}{n-a}=1 $ quindi non conta.
Consideriamo 1 test a risposte vero-falso: supponiamo che le risposte esatte siano a. Allora il numero di modi di rispondere a questo test è $ \displaystyle \binom {n}{a} $.
dato che a può assumere qualsiasi valore da 0 a n allora il numero di modi di rispondere a questo test è anche $ \displaystyle\sum_{a+b=n}{n\choose a} $ ma il numero di possibilità delle risposte è anche $ 2^n $.
Ti riferivi a questo?