Le potenze di due più uno sono prime tra loro

[salva90]

Esercizietto carino dal Sato:

Sia $ T_n=2^{2^n}+1 $. Si dimostri che se $ n\ne m $ allora $ (T_m,T_n)=1 $

[HumanTorch]

$ 2^{2^{n+1}}-1=\prod_{i=1}^{n} (2^{2^i}+1) $

Inoltre $ T_{n+1}=T_{n}\cdot (T_{n}-2)+2 $, ma $ T_{i}|T_{n}-2 $ $ \forall i \in \overline{0;n-1} $, ed essendo i termini tutti dispari, $ T_{n+1}=k\cdot T_i +2 $ sarà coprimo con $ T_i $, $ \forall n\in\mathbb{N} $

[darkcrystal]

O anche: sia p un primo che divide $ 2^{2^n}+1 $. Allora $ 2^{2^n}=kp-1 $ per qualche k intero. Prendendo poi m>n, $ T_m $ si può esprimere come $ 2^{2^n} $ elevato al quadrato "un po'" di volte più uno, perciò è $ \equiv (kp-1)^{2*2*2*...} +1 \equiv 2 \pmod p $. Pertanto un primo che divida un $ T_n $ non divide nessuno dei successivi (e quindi nemmeno dei precedenti...) e perciò tutti i $ T_n $ sono coprimi fra loro.
Ciao!