L'ennesima disuguaglianza

[pi_greco_quadro]

Dunque siano $ a,b,c $ i soliti reali positivi

Si dimostri che

$ \displaystyle \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab} $

[pic88]

siano x, y e z le radici.
$ (x^2+y^2+z^2)^2 \geq 3(x^2yz+...) $

$ \[\displaystyle \sum\limits_{{\rm sym}} {x^4 } + 2\sum\limits_{{\rm sym}} {x^2 y^2 } \ge 3\sum\limits_{{\rm sym}} {x^2 yz} \] $
bunching

EDIT: si può anche fare con chebyshev

[darkcrystal]

Riparto dalla sostituzione che ha fatto pic88.
$ \displaystyle \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{9} \geq xyz(\frac{x+y+z}{3}) $

$ (\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{9})^{(1/4)} \geq (xyz(\frac{x+y+z}{3}))^{(1/4)} $
Che possiamo scrivere come $ QM \geq (GM^3*AM)^{(1/4)} $
Ma del resto sappiamo che $ (GM^3*AM)^{(1/4)} \leq (AM^4)^{(1/4)}=AM \leq QM $

Ciao!