Successioni di parti frazionarie

[Sisifo]

Siano $ p_1=2, p_2=3, ... $ tutti i primi in ordine crescente
Fissato $ 0<x_0<1 $ si costruisce la successione $ {x_n} $ in questo modo:
$ x_k=0 $ se $ x_{k-1}=0 $
$ \displaystyle x_k=\left\{\frac{p_k}{x_{k-1}}\right\} $ se $ x_{k-1} \neq 0 $
Dove {x} è la parte frazionaria di x
Trovare i valori di $ x_0 $per cui la successione è definitivamente nulla.

[Leblanc]

Siano $ p_1=2, p_2=3, ... $ tutti i primi in ordine crescente.

Ma il fatto dei primi successivi ha qualche importanza? o potrebbe essere una successione di interi positivi qualunque?

[SkZ]

sembrerebbe (a occhio e qualche controllo) che sia $ ~x_0\in\{x:x\in\mathbb{Q} \cap (0;1)\} $ per qualsiasi successione di interi (positivi per semplicita')

posto x_0=n/m[/tex] con n<m
x_1={(c_1m)(n)}
per n=1 banale
per n=2, si ha x_1 in {0, 1/2} quindi al successivo passaggio ci si riconduce al caso precedente :? ( :idea: :?: )
per n=3, si ha x_1 in {0,1/3, 2/3} quindi al successivo passaggio ci si riconduce ai casi precedenti :D ( :idea: :!: )

per per n=a, si ha x_1 in {0, 1/a, 2/a,\dots , (a-1)/a } quindi al successivo passaggio ci si riconduce ai casi precedenti

[EvaristeG]

SkZ ... ma da quando sei un partecipante alle olimpiadi bisognoso di allenamento?

[SkZ]

scusa , mi sono fatto prendere la mano

Puoi "censurarmi" quando vuoi, non mi offendo mica

[Sisifo]

Siano $ p_1=2, p_2=3, ... $ tutti i primi in ordine crescente.

Ma il fatto dei primi successivi ha qualche importanza? o potrebbe essere una successione di interi positivi qualunque?

Mmm.. è quello che ho pensato anch'io. Ma il testo (USAMO 1997 dovrebbe essere) diceva così, e allora l'ho lasciato.