n|(n-k)!

[Leblanc]

Dato un intero $ k>14 $, sia p il piu' grande primo minore di k. k e' scelto in modo che $ p \geq 3k/4 $. Dimostrare che $ 2p $ non divide $ (2p - k)! $, ma che $ n $ divide $ (n - k)! $ per ogni n composto maggiore o uguale a 2p.

[SkZ]

la prima parte e' "ovvia" per costruzione.
dato che p e' primo ed e' $ ~\frac{3}{4}k\le p< k $ allora
$ ~7<\frac{k}{2}\le 2p-k<k $ e $ ~9<p-\frac{k}{4}\le 2p-k<p $
quindi $ ~(2p-k)! $ non puo' essere un multiplo di 2p

se $ ~n $ non primo e $ ~a $ intero $ :~a\ge \frac{n}{2}\Rightarrow n|a! $ quindi basta avere $ ~n-k\ge \frac{n}{2}\Rightarrow n\ge 2k $ ma io ho che $ ~n\ge 2p < 2k $.
Dato un dubbio controllo e, posto $ ~k=15>14 $ e quindi $ ~p=13 $ e $ ~n=26\ge2*13 $, ho $ ~(n-k)!=11! $ che non e' multiplo di 26

Ho un dubbio che mi sia sfuggito qualcosa.
forse era $ ~n> 2p $

allora
se $ ~n=2q>2p $, con $ ~q $ primo, ma abbiamo $ ~q>k $ per costruzione (e' $ ~p $ il massimo dei primi minori di $ ~k $), quindi $ ~n\ge 2k $.
se $ ~n=qm $ con $ ~q\ge 3 $ minimo primo divisore di $ ~n $ allora devo avere $ ~n-k\ge \frac{n}{3}\Rightarrow n\ge \frac{3k}{2}\Rightarrow n-k\ge \frac{k}{2} $. Ma $ ~n> 2p \Rightarrow n-k>2p-k \ge \frac{k}{2} $

PS OT: quanto tempo che non ti si sentiva! Impegnata con lo studio?

[Leblanc]

la soluzione e' ok...
in effetti leggo leggo il forum un po' saltuariamente, o a pezzi, e posto quando ho tempo... quest'anno sono abbastanza impegnata, anche se non particolarmente dalla scuola, devo dire Sicuramente meno di quanto mi aspettassi all'inizio di quest'anno... ciao!

[SkZ]

la soluzione e' ok...

(scodinzolo)

[mistergiovax]

ho visto che stavate parlando di fattoriali e quindi volevo farvi una domanda.

sul mio libro di algebra c'è scritto (pressappoco vicino al binomio di Newton) che per qualunque 'n' e 'k' con k<=n e tutti e due naturali (lo scrivo a parole, perché non so usare latex) 'enne su kappa' è sempre un intero positivo.

La domanda è questa: chi ci assicura (c'è una dimostrazione?) che 'n su k' è intero positivo?

ciao e grazie

[Sisifo]

beh.. siccome è uguale al numero di combinazioni di k oggetti scelti fra n, direi che è abbastanza intero..

[SkZ]

parlando a formule
$ $\binom{n}{k}=\frac{n\cdot (n-1)\dots (n-k+1)}{k!}$ $
abbiamo quindi una frazione con sia al numeratore che al denominatore una moltiplicazione di $ ~k $ numeri consecutivi. Quindi al numeratore abbiamo sicuramente un multiplo di $ ~k $, un multiplo di $ ~k-1 $ e cosi' via, quindi in denominatore e' un divisore del numeratore.