Facile esercizio sulle simmetrie

[rand]

Dimostrare che gli assi di simmetria di un insieme finito e limitato di punti del piano
se esistono concorrono tutti in uno stesso punto.

[piever]

Posto in bianco:

Supponiamo per assurdo che gli assi non concorrano.
Leviamoci di mezzo il caso in cui ce ne sono almeno 2 paralleli tra loro. Mettiamoli verticali a distanza d fra loro. Scegliamo il punto piu a sinistra e chiamiamolo p, sia D la distanza con la retta sinistra. Il punto piu a destra dista D-d della retta destra, il punto piu a sinistra D+d, quindi non è un asse di simmetria.

Ora supponiamo che ci siano 3 rette: r (passante per A,B),q (passante per B,C), s(passante per A,C) che si incontrano in 3 punti distinti che chiamiamo A,B,C. Sia P il punto che massimizza PA+PB+PC. Queste 3 rette dividono lo spazio in 7 parti. Di queste 7 parti diciamo che godono della proprieta f(r) quelle che sono dalla stessa parte di C rispetto a r e allo stesso modo definiamo f(q) e f(s). Notiamo facilmente che ogni area del piano verifica almeno una tra le porprietà f(r),f(q),f(s) quindi esiste una retta (supponiamo wlog r) tale che il punto tra A,B,C per cui essa non passa (in questo caso C) e P stanno dalla stessa parte rispetto ad essa. Quindi, sia X il simmetrico di P rispetto a r, allora XA+XB=PA+PC ma XC>PC quindi XA+XB+XC>PA+PB+PC assurdo.

ciao!