facile ma carino
Una terna (non ordinata) di numeri interi positivi viene detta "super" se i tre numeri che la compongono sono distinti tra loro e la loro somma è divisibile per ciascuno di essi. Quante sono le terne "super" composte da tre numeri ciascuno di tre cifre?
terne "super"
Prima di tutto dimentichiamo che a,b,c sono di tre cifre.
Supponiamo inoltre a<b<c.
Il testo del problema dice:
a | a+b+c
b | a+b+c
c | a+b+c
Equivalente a:
a | b+c
b | c+a
c | a+b
Chiamiamo "primitive" le soluzioni con a,b,c primi tra loro. Data una soluzione (a,b,c), anche (ka,kb,kc) sono soluzioni.
Se due numeri hanno un fattore comune d, lo deve avere anche il terzo. Quindi basterà cercare le soluzioni primitive.
c | a+b, ma a+b < c+c = 2c
Quindi dev'essere per forza a+b=c. Sostituendo otteniamo:
a | b+c = b+a+b, quindi a| 2b
b | 2a
a+b = c
Ora, siccome a,b sono primi tra loro, dal fatto che a|2b otteniamo che a | 2, e anche b | 2. Siccome a < b < c, si vede subito che l'unica soluzione primitiva è 1,2,3.
Se vogliamo contare quelle di 3 cifre, la più piccola è 100,200,300, la più grande è 333,666,999. Quindi dovrebbero essere 334.