equazione diofantea con fattoriale

[celeste]

Alle olimpiadi della matematica quest'anno ho fatto 120/125. Ho notato così che
125-120=5, e 5!=120, e 125=5^3.
Credo che questa (x=5) sia l'unica soluzione dell'equazione x!+x=x^3, allora mi chiedevo, quante soluzioni ammette l'equazione x!+x=x^n, dove x e n sono numeri naturali?
Io ho trovato le coppie (2,2) (3,2) (5,3), ma altre non riesco a trovarle.
Si puo dimostrare che non esistono altre soluzioni, o eventualmente, se esistono. dire quante (in numero finito o infinito) ed eventualmente quali sono?
Premetto che sono solo uno studente di quarta e non ho idea della difficolta dell'esercizio...grazie in anticipo

[MindFlyer]

Benvenuto!

dire quante (in numero finito o infinito)

Che siano infinite per n fissato è impossibile a priori, vedi?
Inoltre, con un argomento leggermente più sofisticato, si mostra che per n fissato (e diverso da 2) vi è al più una soluzione.

[pic88]

più che matematica ricreativa, questa è teoria dei numeri.
Comunque provo a dire qualcosa sul problema:
Lavoriamo con $ n>1 $, $ n=1 $ dà $ x!=0 $ che non ha soluzioni. Dividendo per x abbiamo

$ (x-1)! + 1 = x^{n-1} $

questo può essere vero solo se $ x |(x-1)! + 1 $,
cioè se e solo se $ x $ è primo. (teorema di Wilson)
Non ho idea di come continuare

[MindFlyer]

più che matematica ricreativa, questa è teoria dei numeri.

Non si muoverà di qui finché non salterà fuori una soluzione elementare.

[celeste]

Che siano infinite per n fissato è impossibile a priori

intendevo se per n che varia in N si puo dimostrare se l'equazione ammette un numero finito di soluzioni o se ce ne sono infinite...

Perdonate la mia ignoranza, ma qualcuno potrebbe spiegarmi il significato del simbolo | che avete usato?, comunque partendo dal fatto che deve essere chiaramente n minore di x per ogni x maggior di 3, ho fatto un programma col FreePascal che prova tutte le combinazioni fino a x=1000 e non ne trova altre...(anche se non è che mi fidi molto perché le variabili tengono solo fino a 20 cifre...e x!+x->x! quando x è abbastanza grande)

[SkZ]

$ ~a|b $ a e' divisore di b, ovvero b e' multiplo di a

[HiTLeuLeR]

Lavoriamo con $ n>1 $, $ n=1 $ dà $ x!=0 $ che non ha soluzioni. Dividendo per x abbiamo $ (x-1)! + 1 = x^{n-1} $. Questo può essere vero solo se $ x \mid ((x-1)! + 1) $, cioè se e solo se $ x $ è primo (teorema di Wilson). Non ho idea di come continuare

Nessun problema, ce l'ho io.

più che matematica ricreativa, questa è teoria dei numeri.

Non si muoverà di qui finché non salterà fuori una soluzione elementare.

Direi che è giunto il tempo.

[MindFlyer]

Non capisco come viene fuori la soluzione al problema dalla discussione che hai linkato.
Per infiniti n, n!+1 non è potenza di un primo. Cosa deduci da questo?

[HiTLeuLeR]

Non capisco come viene fuori la soluzione al problema dalla discussione che hai linkato. Per infiniti n, n!+1 non è potenza di un primo. Cosa deduci da questo?

Non avresti tardato a intenderlo, se soltanto ti fossi dato pena di scorrere la soluzione di Santana...

[MindFlyer]

Ok, allora facciamo così: qualche anima pia scrive per benino la soluzione di questo problema in questo thread, e io lo sposto in TDN.

[HiTLeuLeR]

[...] facciamo così: qualche anima pia scrive per benino la soluzione [...]

Ok, io punto un nichelino sulla tua. Chi rilancia?