[Elettromagnetismo] - Rete di resistenze

Zok · Messaggio da **Zok** » 04 dic 2006, 22:15

Il circuito in figura rappresenta una rete di resistenze R tutte uguali fra loro. Una corrente i=16 A entra nel nodo N ed esce dal nodo S.
Qual'è l'intensità di corrente che circola nel ramo PQ?

Immagine

Ponnamperuma · Messaggio da **Ponnamperuma** » 04 dic 2006, 22:28

Beh, adesso magari dico la cacchiata, ma mi sembra una semplice applicazione della legge di Kirchhoff dei nodi... Siccome la corrente entrante in un nodo deve essere pari a quella uscente, rispetto al nodo N, lungo le due resistenze "in verticale" transiteranno 8 A di corrente... Analogamente, nel ramo PQ dovrò avere la stessa corrente che c'è nel ramo orizzontale che parte dal nodo P... Quindi ancora divido per 2 (siccome nel circuito le resistenze sono tutte uguali, e la tensione sarà pure costante a 220V, non essendo specificato altrimenti) e ottengo 4 A di corrente nel ramo PQ. Giusto?

Zok · Messaggio da **Zok** » 04 dic 2006, 22:42

Sei andato un pò troppo di fretta Ponnamperuma...anch'io inizialmente l'avevo risolto così...ma il mio professore (o meglio il libro da cui l'ha preso!) dà un altro risultato...ma senza riuscire a motivarlo...ecco perchè l'ho postato, sperando che qualcuno mi potesse aiutare...
Con il tuo ragionamento penso che non consideri il fatto che la resistenza PQ e quella centrale sono in serie...sbaglio?

Ponnamperuma · Messaggio da **Ponnamperuma** » 04 dic 2006, 22:55

Già, penso tu abbia ragione, anzi, forse andrebbe considerata anche la resistenza che dal nodo Q va in basso a sinistra... Devo pensarci...

luiz · Messaggio da **luiz** » 04 dic 2006, 22:58

nel nodo P la corrente nn puo dividersi in modo uguale perché incontra resistenze diverse...per questo motivo la soluzione non può essere 4 A...

robbieal · Messaggio da **robbieal** » 04 dic 2006, 23:31

Secondo il mio ragionamento viene di 2,67 A. ho fatto così: in N la corrente si divide in parti uguali ma in P no perchè le resistenze non sono uguali nei due rami in parallelo. infatti nel tratto ramo superiore la resistenza è R, mentre in quello inferiore è 2R perchè ci sono due resistenze in serie. Poichè la ddp è uguale nei due rami, si può scrivere che $ RI_1=2RI_2 $, con $ I_1+I_2=8 $. svolgendo i calcoli viene $ I_1=5,33 A $ e $ I_2=2,67 A $.
N.B: considerate le mie conoscenze dei circuiti quello scritto sopra potrebbe essere una grande cazz..a. se così fosse ignorate tutto

ciao

MateCa · Messaggio da **MateCa** » 05 dic 2006, 19:14

Efftettivamente il circuito è un po' ostico, ma numericamente mi sento di appoggiare il risultato di Ponnamperuma, anche se il procedimento non ha molto senso...

Siccome giustamente nel nodo N la corrente si divide a metà, e le resistenze sopra e sotto sono uguali, è chiaro che il punto P e il suo simmetrico (che chiamo R) sono allo stesso potenziale, quindi i due nodi P e R possono essere considerati coincidenti.
Ora, la corrente si divide in tre rami:
ramo 1) quello in alto di resistenza totale uguale a R
ramo 2) quello centrale che ha un parallelo delle due resistenze "oblique" nella figura, il quale è in serie ad un'altra resistenza: la resistenza totale è dunque 1,5R
ramo3) quello in basso di resistenza totale uguale a R

Chiamando i1,i2,i3 le tre correnti, si ha
(1) R1*i1=R2*i2=R3*i3
(2) i1+i2+i3=16 (legge dei nodi già citata)

visto che i1=i3, otteniamo 2*i1+i2=16
dalla (1) inoltre R1*i1=R2*i2 da cui i1=1,5*i2

si conclude quindi i2=4A

Spero di non aver fatto stupidate (cosa molto probabile, visto che hai detto che era sbagliato), in effetti nemmeno io sono propriamente un mago dei circuiti...

@robbieal: mi sembra che tu non abbia considerato che in Q convergono due rami diversi, quindi hai un po' "semplificato" il circuito.

robbieal · Messaggio da **robbieal** » 05 dic 2006, 20:59

già in effetti avevo interpretato male il circuito... facciamo finta che è stata colpa dell'orario

. rivedendolo adesso però mi sembra che il ragionamento di MateCa non faccia una grinza, quindi la corrente è proprio 4 A. che si sia sbagliato il libro???

Zok · Messaggio da **Zok** » 05 dic 2006, 21:15

La tua risoluzione è quasi esatta MateCa, c'è solo un errore alla fine...

Come dici tu, infatti, i2=4A, ma questa è la corrente che passa complessivamente nel ramo 2, cioè in R2, la resistenza equivalente alle due in parallelo più quella in serie...e questa corrente non è quella richiesta dal problema, che chiedeva la corrente nel tratto PQ, che non è i2...no?

Il risultato del libro era 2A

memedesimo · Messaggio da **memedesimo** » 05 dic 2006, 21:54

a me viene 2A, aspettate un attimo che cerco di scrivere la soluzione (che è un po' complicata e sicuramente non è quella ottimale) in un modo decente

memedesimo · Messaggio da **memedesimo** » 05 dic 2006, 22:02

dunque, chiamo il vertice in basso a sinistra A

il gruppo formato dalle tre resistenze PQ, AQ e QS è in parallelo con ciascuna delle resistenze PS e AS.
Poi, PQ è in parallelo con AQ (perchè il potenziale in A e P è lo stesso), e la loro resistenza equivalente è in serie con QS.
in totale il trio PQ, AQ e QS ha come resistenza equivalente 3/2 (questa resistenza la chiamo Req). poichè la corrente totale che passa attraverso PS, AS e Req deve essere 16, e poichè questa si deve dividere inversamente alle resistenze, con un paio di conti trovo che la corrente che passa attraverso Req deve essere 4A, e quindi per simmetria quella che passa per Pq è 2A.

spero di essere stato chiaro anche se dubito, non mi piace molto questa soluzione.

MateCa · Messaggio da **MateCa** » 05 dic 2006, 22:02

Scusate, non avevo letto bene il testo

Ecco perchè non tornavano i conti...

iPQ quindi vale 2A (per la legge dei nodi applicata in Q e per una questione di simmetria)

@memedesimo: direi che è chiarissimo, concordo pienamente

memedesimo · Messaggio da **memedesimo** » 05 dic 2006, 22:11

ah non avevo letto la soluzione di MateCa, che sostanzialmente è uguale alla mia, tranne che alla fine si è dimenticato di dividere per due il risultato (lo si deve fare perchè la resistenza eq presuppone PQ e AQ in parallelo, cioè I2 è la somma delle correnti in PQ e AQ)

urano88 · Messaggio da **urano88** » 06 dic 2006, 19:35

io l'ho risolto in modo semplice e analitico applicando in primo luogo la legge delle maglie a PQS (1) e quindi aggiungendo le informazioni derivanti dall'applicazione della legge dei nodi su Q (2) e su S (3). La simmetria della rete semplifica molto il problema.

praticamente viene:

R I_PQ + R I_QS = R I_PS (1)
si possono subito eliminare le R che sono tutte uguali

2I_PQ = I_QS (2)
2I_PS + I_QS = I_tot (3)

sostituendo I_QS ricavato dalla (2) nella (3) si ottiene l'equazione

2I_PS + 2I_PQ = I_tot (2/3)

quindi si sostituiscono nella (1) i risultati della (2) e della (2/3) ottenendo:

8I_PQ = I_tot

da cui:

I_PQ = 16/8 A = 2A

Sperando di non aver sbagliato a trascrivere qualche lettera, saluto tutti!