Annagrammi con tre consonanti

[salva90]

Livello terra/terra.

detrerminare il numero di anagrammi di MAMMALUCCO che non contengono tre m consecutive ma hanno almeno tre consonanti di seguito.

Astenersi iper-esperti, please

[Pigkappa]

1)Calcolo gli anagrammi con almeno 3 consonanti di fila. Scegliamo queste tre consonanti in 6 su 3 modi e le contiamo come una lettera sola; permutando abbiamo $ \displaystyle {6 \choose 3} \frac{8!}{2!2!3!}=33600 $

2)Gli anagrammi con 3 M sono $ \displaystyle \frac{8!}{2!2!}=10080 $

La risposta allora è 33600-10080=23520.

Tutto questo modulo errori di ragionamento o di calcolo.



Il problema l'avevo inventato io per un mio compagno di classe il giorno prima di un compito in classe di combinatoria perchè diceva che la combinatoria e le permutazioni sono stupidaggini

[darkcrystal]

Mmmmh ma con $ 6 \choose 3 $ prendi un po' troppe combinazioni, perchè consideri le 3 "M" come lettere diverse e stesso discorso per le "C".
Inoltre non mi sembra consideri che le 3 consonanti possono essere permutate tra loro... a meno che - cosa che però non sapevo - $ 6 \choose 3 $ tenga conto di tutto ciò

[Pigkappa]

Sei su 3 sono i modi di scegliere le consonanti; scegliere M, A e C e scegliere C, A ed M sono la stessa cosa (quindi considera queste permutazioni).

Considero le 3 M come diverse, è vero, ma dovrei averle tolte con le ripetizioni (ad esempio per le M c'è il 3! al denominatore).

[gp]

"Il problema l'avevo inventato io per un mio compagno di classe il giorno prima di un compito in classe di combinatoria perchè diceva che la combinatoria e le permutazioni sono stupidaggini"

non vorrei chiedere troppo, ma potrei sapere chi è il genio sopracitato?
... info interessante visto che ho cominciato a correggere il "facile" compito!

[salva90]

Scusa pigkappa potresti spietgarti meglio? non mi è chiaro

[Pigkappa]

Niente lascia stare, il mio approccio era sbagliato. Il problema mi sa che è solo un oceano di casi, sottocasi e conti

[salva90]

Bene allora attendo delucidazioni da qualche Big (enomis ad esempio...).
Anch'io mi perdevo nei conti duri e puri...

[enomis_costa88]

lol io un big?!?
Comunque la mia idea era usare brutalmente il principio di inclusione esclusione.

Sia f(i,m,c) il numero di anagrammi che abbiano un blocco di i consonanti consecutive con m lettere M e c lettere C.

Ua volta fissati m,c posso “anagrammare” il blocco di i consonanti consecutive in:
$ \frac{i!}{m!c!} $
Dopodiché posso anagrammare la parola (considerando le i consonanti come una lettera unica) in:
$ \frac{(11-i)!}{2!(3-m)!(2-c)!} $

da cui $ f(i,m,c)={3\choose m}{2\choose c}\frac{i!(11-i)!}{2!2!3!} $

Quindi ottengo:
$ g(i)= \sum f(i,m,c)=\sum {3\choose m}{2\choose c}\frac{i!(11-i)!}{2!2!3!} $
dove la sommatoria è estesa a m,c t.c.: $ i \ge m+c \ge i-1; 3 \ge m;2 \ge c $

Chiamo K il numero di anagrammi in cui ho due gruppi di tre consonanti consecutive separati tra loro da almeno una vocale.

Ora per il PIE gli anagrammi con 3 consonanti vicine sono:

$ \sum_{i=3}^6 (-1)^{i+1}g(i)-K $

ovvero facilmente (riscrivendo in modo tale da contare K e g(6) insieme per semplicità).

$ (\sum_{i=3}^5 \sum(-1)^{i+1} {3\choose m}{2\choose c}\frac{i!(11-i)!}{2!2!3!}) $ - $ \sum(\frac{3!3!6!}{m!c!(3-m)!(2-c)!2!2!} ) $
dove la seconda sommatoria è estesa a m,c t.c.: $ i \ge m+c \ge i-1; 3 \ge m;2 \ge c $; la terza sommatoria è estesa analogamente al caso i=3.

Inoltre il numero di anagrammi in cui ho 3M adiacenti è:
$ \frac{8!}{2!2!} $ quindi il numero richiesto dovrebbe essere:

$ (\sum_{i=3}^5 \sum(-1)^{i+1} {3\choose m}{2\choose c}\frac{i!(11-i)!}{2!2!3!}) $ - $ \sum(\frac{3!3!6!}{m!c!(3-m)!(2-c)!2!2!})- \frac{8!}{2!2!} $

Con l'ausilio della calcolatrice ottengo:
$ 201600-75600+21600-10800-10080=126720 $ risultato che mi sembra però troppo alto (riguardo meglio i calcolini con calma)..

Edit: che idiota avevo incollato due volte la soluzione

[salva90]

Sì mi sembra che l'idea sia giusta, non ho controllato tutto ma dovresti averci azzecato, modulo errori di calcolo et similia.
E pensare che credevo fosse un esercizio così facile...

[ercole]

Sì mi sembra che l'idea sia giusta, non ho controllato tutto ma dovresti averci azzecato, modulo errori di calcolo et similia.
E pensare che credevo fosse un esercizio così facile...

Io ho trovato una diversa soluzione che mi sembra essere corretta:

Il numero degli anagrammi di MAMMALUCCO con le 3 lettere M consecutive è

$ \frac{8!}{2!2!}=10080 $

Determiniamo ora il numero di anagrammi contenenti almeno 3 consonanti consecutive. Indicando con $ x_{i} $ ($ i=1,\dots,6 $) il numero di consonanti comprese tra le quattro vocali:

$ \underbrace{C\dots C}_{x_1}V\underbrace{C\dots C}_{x_2}V\underbrace{C\dots C}_{x_3}V \underbrace{C\dots C}_{x_4}V\underbrace{C\dots C}_{x_5} $

abbiamo:

$ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=6 \mbox{ (*)} $

Il numero di soluzioni di (*) con almeno una delle variabili maggiore o uguale a 3 è:

$ \sum_{i=1}^5 |A_i|-\sum_{i<j} |A_i \cap A_j|=5 \cdot 35 -10=165 $

dove $ A_i $ indica l'insieme delle soluzioni di (*) con $ x_i \geq 3 $.

Poichè le 4 vocali possono essere permutate in $ \frac{4!}{2!}=12 $ modi e le 6 consonanti in $ \frac{6!}{3!2!}=60 $ modi, il numero degli anagrammi di MAMMALUCCO con almeno 3 consonanti consecutive è

$ 12 \cdot 60 \cdot 165=118800 $.

Pertanto il numero di anagrammi richiesti è:

$ 118800-10080=108720 $

Leon