Siano $ \displaystyle 0 \leq a,b,c,d \leq 1 $, con a, b, c, d numeri reali. Massimizzare l'espressione:
$ \displaystyle a^2+b^2+c^2+d^2 -ab-ac-ad-bc-bd-cd $
Massimizzare
Visto che l'espressione da massimizare è omogenea di 2° grado, la variabile più grande (mettiamo a) sarà 1.
Infatti, se $ ~ P(a,b,c,d) = a^2+b^2+c^2+d^2 - ab-ac-ad-bc-bd-cd $ e (a,b,c,d), con a massimo, è una quaterna che lo massimizza, allora $ ~ P(\frac 1a a, \frac 1a b, \frac 1a c, \frac 1a d) $$ ~ = \frac 1 {a^2) P(a,b,c,d) $, e i valori dati al P sono ancora compresi tra 0 e 1. Quindi, visto che la quaterna di prima massimizzava, dobbiamo avere $ \frac 1 {a^2} \le 1 $ cioè in questo caso a=1.
Resta da massimizzare:
$ ~1 + b^2 + c^2 + d^2 - bc - cd - db - b - c - d $
Ma $ ~ b^2 - b \le 0 $ per $ ~ b \in [0,1] $, quindi tutta l'espressione è minore o uguale a 1, valore che può essere raggiunto con b = c = d = 0.
Poi di condizioni di uguaglianza ce n'è ancora qualcuna, ma sempre tutti 1 o 0.
Infatti, se $ ~ P(a,b,c,d) = a^2+b^2+c^2+d^2 - ab-ac-ad-bc-bd-cd $ e (a,b,c,d), con a massimo, è una quaterna che lo massimizza, allora $ ~ P(\frac 1a a, \frac 1a b, \frac 1a c, \frac 1a d) $$ ~ = \frac 1 {a^2) P(a,b,c,d) $, e i valori dati al P sono ancora compresi tra 0 e 1. Quindi, visto che la quaterna di prima massimizzava, dobbiamo avere $ \frac 1 {a^2} \le 1 $ cioè in questo caso a=1.
Resta da massimizzare:
$ ~1 + b^2 + c^2 + d^2 - bc - cd - db - b - c - d $
Ma $ ~ b^2 - b \le 0 $ per $ ~ b \in [0,1] $, quindi tutta l'espressione è minore o uguale a 1, valore che può essere raggiunto con b = c = d = 0.
Poi di condizioni di uguaglianza ce n'è ancora qualcuna, ma sempre tutti 1 o 0.