disuguaglianza caruccia

[mattilgale]

ho una soluzione bella bao di questa disuguaglianza
non è tostissima ma nemmeno facilissima

$ \displaystyle \sum_{\mbox{cyc}}\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq 1 $

con x,y,z reali positivi

[Boll]

Non penso sia quella "bella bao" di Matti, cmq non è nemmeno brutta...

$ \displaystyle \sum_{\mbox{cyc}}\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq 1 $

con x,y,z reali positivi

Razionalizzando II liceo-style otteniamo

$ $ \sum \frac{x(\sqrt{(x+y)(x+z)}-x)}{xy+yz+zx}\le 1 $ ovvero la nuova tesi

$ $ \sqrt{x^2(x+y)(x+z)}+\sqrt{y^2(y+z)(y+x)}+\sqrt{z^2(z+x)(z+y)} $$ $ \le x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx $

Che è la somma delle tre Am-Gm cicliche del tipo

$ $ \frac{(x(x+y))+(x(x+z))}{2}\ge \sqrt{x^2(x+y)(x+z)} $

[mattilgale]

bleah!!!

cmq ho trovato una sol ancora più svelta e caruccia della mia, banalissima... e bellina bao al contrario di quella del piacentino qui sopra...

la posto in bianco

facendo Cauchy-Schwarz al denominatore delle 3 frazioni otenniamo

\sum_{cyc}(x/(x+\sqrt(xy)+\sqrt(xz))

che semplificando è

\sum_{cyc}(\sqrt x)/(\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)=1