Diofantea: p^n + q^n = r^phi(n)

[HiTLeuLeR]

Determinare ogni $ 4 $-upla $ (p,q,r,n) $ di interi non negativi tali che i) $ p, q, r $ siano numeri primi; ii) $ p^n + q^n = r^{\phi(n)} $, dove $ \phi(\cdot) $ è la funzione di Eulero.

[dalferro11]

Ok andiamo per gradi.
Se p, q, r sono primi allora uno dei tre vale 2 (ovvio).
Supponiamo sia r=2

$ {p^n + q^n = 2^{\phi(n)} $

D'altra parte p e q sono entrambi maggiori di 2 e phi(n) <n> 2^{\phi(n)}[/tex], tranne quelle banali p=q= qualsiasi numero e n=0.

[Reese]

E il caso in cui p=2? O volevi solo dimostrare, come hai fatto, che r deve essere diverso da 2?

[dalferro11]

Ciao reese!!

Volevo solo fare vedere che r deve essre diverso da 2.
Poniamo ora che q = 2.
Si ha quindi:

$ p^n+ 2^n = r^{\phi(n)} $

Allora r > p, quindi r = p + 2h per qualche h intero positivo.

$ p^n+ 2^n = (p+2h)^{\phi(n)} $

$ (p+2)(p^{\(n-1}......2^{\(n-1)}=(p+2h)^{\phi(n)} $

Possiamo scrivere

$ (p+2)=(p+2h)^t $

$ (p^{\(n-1}......2^{\(n-1)}=(p+2h)^s $
Dove s + t = phi(n)

Dalla prima equazione si nota che le uniche soluzioni sono h = t = 1
Quindi r = p+2.
Supponiamo ora che n sia un primo dispari. Ciò implica che phi(n)=n-1
Riscrivendo l'equazione iniziale:
$ p^n+ 2^n = (p+2)^{\(n-1} $

Se sviluppiamo il binomio di destra, portiamo a sinistra tutti i termini con il fattore p e a sinistra le poenze di 2 otteniamo a destra un polinomio divisibile per p e a sinistra una poenza di 2. Questo non è possibile in quanto p è dispari maggiore di 1. Quindi n non può essere un numero primo..........
Spero che fin qui funzioni tutto......

Qui mi fermo.....per dare ad altri la soddisfazione di continuare a risolvere il problema...

[SkZ]

$ p^n+ 2^n = (p+2h)^{\phi(n)} $

$ (p+2)(p^{\(n-1}......2^{\(n-1)}=(p+2h)^{\phi(n)}) $

intendi $ $p^n+ 2^n=(p+2)(p^{\(n-1}+...+2^{(n-1)}$ $?
perche' allora $ ~n $ deve essere dispari ($ $3^4+2^4=97$ $ che e' primo, quindi non divisibile per 5=3+2)

[dalferro11]

Scusa, hai ragione sKz, l'ipotesi che n fosse un primo dispari dovevo metterla prima....