About density...

[piever]

Alura, qualcuno sa dirmi se la seguente cosa e' vera:

Sia $ A=\{a_1,...,a_n,...\} $ un insieme di valori reali nell'intervallo $ (0,1) $

I valori $ a_i $ sono densi nell'intervallo $ (0,1) $

Per ogni $ k_i\in\mathbb{N} $ si ha che $ \displaystyle\sum_{i=1}^n k_ia_i\in\mathbb{N} $ solo se ogni $ k_i $ vale 0

Creiamo ora una serie (le graffe indicano la parte frazionaria):

$ b_1=a_1 $

$ b_n=\{ b_{n-1}+a_n \} $

Dimostrare oppure confutare che i valori $ b_i $ sono densi su $ (0,1) $

(non escludo che il tutto sia ovvio o ovviamente falso, ma le mie conoscenze in algebra lineare sono alquanto scarse... )

btw, questo dimostrerebbe in maniera immediata che $ \{n^2x\} $ per $ x $ irrazionale positivo dato, al variare di $ n $ intero positivo, e' denso su $ (0,1) $

[EvaristeG]

Hmm .. cos'è quella n nella sommatoria?
Volevi forse dire che per ogni successione $ \{k_i\}_{i\in\mathbb{N}}\subset \mathbb{N} $ di naturali si ha
$ \sum_{i=0}^{\infty}k_ia_i\in\mathbb{N} $ se e solo se k_i=0 per ogni i?
Oppure che per ogni $ n\in\mathbb{N} $ e per ogni n-upla $ k_1,\ldots,k_n $ si ha
che $ \sum_{i=1}^nk_ia_i $ è inteo se e solo se k_i=0?
(la prima implica la seconda, ma non viceversa).

[piever]

Intendevo la seconda ipotesi (ovverosia n intero positivo arbitrariamente grande).

Onestamente non credo cambi molto per la risoluzione dell'esercizio. Ma, siccome attualmente non so se il claim sia vero o falso, nel caso in cui la seconda ipotesi (quella piu debole) non basti, si puo' provare a rafforzarla un po'...

Comunque, per chiunque voglia saperlo, i vari $ a_i $ nel problema originale erano le parti frazionarie di $ nx $ (per x irrazionale dato al variare di n dispari).