Uau, ho trovato la soluzione non-brutal!
Discutiamo prima il problema 2-dimensionale, poi quello a 3 dimensioni è più o meno la stessa cosa.
Problema: Sia ABC un triangolo, AA', BB', CC' le altezze, A'',B'',C'' i punti a 2/3 di ciascuna altezza.
Dimostrare che:
- A''B''C'' è simile ad ABC
- A''B''C''H sono sulla stessa circonferenza.
L'idea è che quei 2/3 ricordano il fatto noto che il baricentro si trova ai 2/3 delle mediane...
Sia G il baricentro, M il punto medio di AB. Allora A'' è ai 2/3 del segmento AA' e G è ai 2/3 del segmento AM, inoltre A' ed M sono su BC, quindi A''G e BC sono parallele. Ma AA' è perpendicolare a BC. Quindi AA' e GA'' sono perpendicolari. Segue che:
- A'',B'',C'' sono le proiezioni del baricentro sulle altezze.
Ora, prendiamo la circonferenza di diametro GH... avremo $ ~ \angle GA''H = \angle GB''H = \angle GC''H = 90° $, da cui il quadrilatero è ciclico.
Poi, per una questione di angle chasing, gli angoli con cui si incrociano le altezze sono gli angoli di ABC. Quindi, per gli angoli alla circonferenza su uno stesso arco, A''B''C'' è (oppositamente) simile ad ABC.
OOOOOPS ora mi sono accorto che ho sbagliato problema!!!
Beh poco importa. Infatti, invece che proiettare il baricentro, proiettiamo il punto medio M di BC e otteniamo che:
H,M, A', il punto medio di BB', il punto medio di CC' , sono concliclici. E il triangolo ottenuto è ancora simile ad ABC!
Passando al caso 3d, cambia poco.
Prendo il baricentro G di ABC ed è chiaro che A'',B'',C'' sono le sue proiezioni sulle altezze. Quindi GA''H, GB''H, GC''H sono retti, e anche GD'H è retto, il che dovrebbe essere una condizione perchè quei punti stiano su una sfera di diametro GH.
).
