numeri sinistri

[Santana]

Fissata una base intera $ b>1 $ dico che $ m $ è sinistro di $ n $ se per qualche $ k \in N^+ $ e $ h < b^k $ si ha $ n=mb^k+h $. Dimostrare che per ogni insieme $ A $ di interi tra loro non sinistri si ha

$ \sum_{a \in A} \frac{1}{a} \leq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{b-1} $

buona fortuna!

[Santana]

Fissata una base intera $ b>1 $ dico che $ m $ è sinistro di $ n $ se per qualche $ k \in N^+ $ e $ h < b^k $ si ha $ n=mb^k+h $. Dimostrare che per ogni insieme $ A $ di interi tra loro non sinistri si ha

$ \sum_{a \in A} \frac{1}{a} \leq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{b-1} $

buona fortuna!

Oramai l'hanno visto in tanti, posto la mia soluzione che potrebbe essere utile per futuri problemi.

Ripartiamo $ A $ in intervalli del tipo $ I_{n,k}=\{a: a \in A \, \wedge \, a \in [b^{n-1}k,b^{n-1}(k+1)-1] \} $ con $ n,k \in N^+ $, abbiamo che se $ a \in I_{n,k} $ allora $ ab^u,ab^u+1...ab^u+b-1 \not\in I_{n+u,k} $ per ogni $ u \geq 1 $ e con un pò di pazienza si ottiene

$ |I_{n,k}| \leq b^{n-1}-b|I_{n-1,k}|-b^2|I_{n-2,k}|-...-b^{n-1}|I_{1,k}| $

del resto

$ \sum_{a \in A} \frac{1}{a} = \lim_{ N \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{b-1} \sum_{n=1}^N \sum_{a \in I_{n,k}} \frac{1}{a} $

$ \sum_{a \in A} \frac{1}{a} \leq \lim_{ N \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{b-1} \frac{1}{k} \sum_{n=1}^N \frac{|I_{n,k}|}{b^{n-1}} $

e

$ \sum_{n=1}^N \frac{|I_{n,k}|}{b^{n-1}}=\frac{|I_{N,k}|}{b^{N-1}} + \sum_{n=1}^{N-1} \frac{|I_{n,k}|}{b^{n-1}} \leq 1 $

per quanto visto prima.