sommatoria aurea

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Vi propongo una semplice sommatoria, sperando che non sia troppo banale:

$ \displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} (\phi -1)^{2i} $

dove $ \phi = \frac {\sqrt5 + 1}2 $

[salva90]

Insomma...
abbiamo $ \phi-1=\frac{\sqrt5-1}2 $. otteniamo una progressione geometrica di ragione $ r=\displaystyle\bigg(\frac{\sqrt5-1}2\bigg)^2 $, che sommata fino a infinito dà $ \displaystyle\bigg(\frac{\sqrt5-1}2\bigg)^2\cdot\frac1{1-\bigg(\frac{\sqrt5-1}2\bigg)^2}=\frac2{\sqrt5-1} $, modulo errori di calcoli dovuti alla fretta

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

si, va bene, anche se il risultato si potrebbe scrivere un po' meglio:

$ \displaystyle \frac 2{\sqrt5 - 1}= \frac {\sqrt5 + 1}2= \phi $

ah, ci sarebbe anche un metoto più geometrico per farlo, vediamo chi lo trova per prima...

[salva90]

si, va bene, anche se il risultato si potrebbe scrivere un po' meglio:

$ \displaystyle \frac 2{\sqrt5 - 1}= \frac {\sqrt5 + 1}2= \phi $

dettagli

per il metodo geometrico ti conviene ripostare in geometria, qui è sbagliata la sezione. comunque è quello che ho intravisto di scorcio stamane vero?

[Marco]

Girellavo nei fili vecchi...

$ \displaystyle\bigg(\frac{\sqrt5-1}2\bigg)^2\cdot\frac1{1-\bigg(\frac{\sqrt5-1}2\bigg)^2}=\frac2{\sqrt5-1} $, modulo errori di calcoli dovuti alla fretta

Ma è falso!! Fa $ \frac{\sqrt5-1}2 $.

Due soluzioni geometriche.
Chiamo $ \psi = 1 - \phi $. $ \psi $ è il numero aureo. Una sua proprietà è che $ \psi^2 + \psi = 1 $.

Pigliamo un rettangolo aureo $ 1 \times \psi $. La proprietà si traduce nel fatto che se ritagliamo un quadrato con un lato in comune con un lato corto, il pezzo restante è un rettangolo aureo $ \psi \times \psi^2 $.

Tagliamo allora una successione di quadrati sempre più piccoli, costruendoli sempre a sinistra e in basso. Osserviamo il lato destro del rettangolo iniziale: esso è suddiviso da segmenti lunghi $ \psi^2, \psi^4, \psi^6, \dots $. La somma voluta è quindi $ \psi $.

Altra soluzione: la superficie del rettangolo grande è $ \psi $, ed è la somma delle superficie dei quadrati, che sono, di nuovo $ \psi^2, \psi^4, \psi^6, \dots $.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

si io lo avevo pensato come suddividere un triangolo isoscele con angoli alla base di 36° in modo da formare sempre un triangolo interno simile con rapporto sulle lunghezze la sezione aura.

p.s. provate a determinare $ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \Phi^{i} $

[Haile]

si io lo avevo pensato come suddividere un triangolo isoscele con angoli alla base di 36° in modo da formare sempre un triangolo interno simile con rapporto sulle lunghezze la sezione aura.

p.s. provate a determinare $ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \Phi^{i} $

Poichè $ $\sum_{i=1}^n \Phi^i $ $ è una serie geometrica, ricordando che

$ $\Phi = \frac{\sqrt5 - 1}{2}$ $
$ $1 - \Phi = \Phi^2$ $
$ $\frac{1}{\Phi} = \phi$ $

Si trova che:

$ $\sum_{i=1}^{n} \Phi^i= \frac{\Phi-\Phi^{(n+1)}}{1-\Phi} = \frac{\Phi-\Phi^{(n+1)}}{\Phi^2} = \frac{1}{\Phi} - \Phi^{n-1} = \boxed{\phi - \Phi^{n-1}}$ $

O se si preferisce l'esplicito:

$ $\sum_{i=1}^n \Phi^i = \frac{\sqrt5 + 1}{2} - \bigg(\frac{\sqrt5-1}{2} \bigg)^{n-1}$ $