Ciao Ragazzi. Dovrei determinare quante soluzioni esistono dell'equazione
√(x²+1)+xln x=1, ovvero y=√(x²+1)+xln x-1=0. Ho calcolato y′=(x/(√(x²+1)))+ln x+1, y′′=(1/(√((x²+1)³)))+(1/x), ed ho osservato dicendo che la derivata seconda è sempre positiva, per cui la funzione è sempre convessa;potrei sfruttare quest'ultimo fatto per dire che le soluzioni sono 2, ma mi trovo in difficoltà nella ricerca dello zero della derivata prima; come potrei fare per schiodare? Thanks!
in genere curve simili vengono studiate con metodi numerici....
Nel tuo caso Proverei a studiare la derivata prima per vedere se ha la soluzione reale.
Tieni presente che la funzione di partenza in 0 tende ad assumere il valore 0.
D'altra parte se tu provi a introdurre 1/2 ti verrà un numero negativo mentre se introduci 1 il valore è positivo.
Quindi il minimo sta in (0,1). e anche la seconda soluzione per il teorema degli zeri.
Dal fatto che la derivata seconda è sempre positiva, ciò implica che la derivata prima è crescente. Quindi a mio avviso, per questo tipo di funzione puoi dire che ha due soluzioni reali.
Certo non è un metodo così....preciso, d'altra parte dove si può....
la mancanza di cultura matematica si manifesta drasticamente nell'eccessiva precisione di calcolo.
Questo di certo va in matematica non elementare.
Caro elphysics74, due richieste :
1) impara latex, è più comodo per scrivere di matematica
2) leggi le regole del forum che si trovano nel comitato di accoglienza.
Molti libri di scuola media superiore trattano il problema di come risolvere equazioni difficili del tipo f(x)=0; poiché evidentemente quello di elphysics74 non è fra questi, ecco qualche suggerimento.
Lo studio della funzione y=f(x) dà spesso origine alla difficoltà di non saper risolvere l’equazione y’=0; per questo motivo di solito si preferisce risolvere la prima parte del problema (trovare quante sono le soluzioni ed avere un’idea approssimata del loro valore) spostando qualcosa a secondo membro per un’equazione del tipo g(x)=h(x) e cercando di fare in modo che siano facili da studiare le funzioni y=g(x) e y=h(x). Le si disegna su uno stesso grafico; le ascisse delle loro intersezioni sono le soluzioni cercate.
Nel nostro caso suggerirei di scrivere $ x \ln x =1-\sqrt{x^2+1} $ , studiando quindi le funzioni $ y= x \ln x $ e $ y=1-\sqrt{x^2+1}. $
La prima tende a passare per l’origine (che non è in C.E.), ha un minimo in $ (\frac 1 e, -\frac 1 e) $ , passa per (1,0) e poi cresce all’infinito, senza asintoti.
La seconda passa per l’origine e per (1, 1-$ \sqrt 2 $); la si può poi studiare normalmente o notando che è il ramo inferiore dell’iperbole equilatera $ (y-1)^2-x^2=1 $; in entrambi i modi si trova che ha un massimo nell’origine e poi (le x negative non ci interessano) decresce sempre, con l’asintoto y=1-x.
Le due curve si incontrano realmente in un unico punto, la cui ascissa è circa 1/2 (sembrano incontrarsi anche nell’origine, ma abbiamo già notato che non è accettabile).
La soluzione così data è molto rozza, ma esistono metodi per migliorarla; partono tutti dall’idea di aver disegnato l’unica curva y=f(x) ma funzionano anche senza veramente conoscerne il grafico. Ecco i principali: Metodo della tangente: detto a un valore approssimato della soluzione, si tracci la tangente alla curva nel suo punto di ascissa a ; un miglioramento della soluzione è l’intersezione di questa tangente con l’asse x, data da $ c=a-\displaystyle \frac{f(a)}{f ’(a)} $ (a denominatore c'è il segno di derivata, ma non riesco a renderlo visibile). Se f(c) è molto prossimo allo zero, siamo alla soluzione; in caso contrario assegniamo ad a il valore trovato per c e ripetiamo il procedimento. Nel nostro problema converrà iniziare con a=1/2. Metodo della corda: siano $ a, b $ due ascisse tali che la soluzione cada fra loro (quindi $ f(a) $ e$ f(b) $ hanno segno opposto); un miglioramento della soluzione è l’intersezione con l’asse x della corda che congiunge i punti $ (a,f(a)) $ e $ (b,f(b)) $ , data da $ \displaystyle c=\frac{af(b)-bf(a)}{f(b)-f(a)} $ . Se $ f(c) $ è molto prossimo allo zero, siamo alla soluzione; in caso contrario $ c $ viene sostituito ad $ a $oppure a $ b $ (ad $ a $ se $ f(a) $ e $ f(c) $ hanno lo stesso segno, a $ b $ altrimenti) e il procedimento viene ripetuto. Nel nostro problema, suggerirei di iniziare con a=1/e, b=1. Metodo della bisezione: come quello della corda, ma c viene calcolato con $ c=\frac{a+b} 2 $ . Questo metodo richiede spesso più ripetizioni dei due precedenti, ma è usato per la facilità dei singoli passaggi.
