Che caratteristica ha questo campo??

[Simo_the_wolf]

Supponiamo di avere un campo $ K $ a caratteristica $ p $ nel quale ho $ 51 $ elementi diversi da $ 0 $: $ a_1,a_2,....,a_{51} $. Chiamo $ b_i $ la somma di tutti questi elementi a parte $ a_i $.
Sapendo che $ b_1,b_2,b_3....,b_{51} $ sono una permutazione di $ a_1,a_2,...,a_{51} $ determinare i possibili vaolri di $ p $.

[Marco]

Il testo non dice se gli $ a_i $ devono essere distinti. Se no, il problema si imbruttisce e la risposta è "qualunque caratteristica".

Se invece sì, la caratteristica deve essere 2 o 7.

[Simo_the_wolf]

non devono essere per forza distinti...

[Marco]

E allora, qualunque caratteristica.

Per caratteristica 2, basta una qualunque 51-upla a somma 0 (e si trovano addirittura distinte, da $ \mathbf F_{64} $ in poi, ma basta più semplicemente un campo infinito, per non doversi scocciare con il poco spazio di manovra...).

Per caratteristica diversa da 2, allora venticinque $ +1 $, ventitré $ -1 $, un $ +2 $ e due $ -2 $.

Ma a me piaceva di gran lunga di più il problema con l'ipotesi di numeri distinti.

[Simo_the_wolf]

ma così l'insieme dei $ b_i $ è diverso da quello degli $ a_i $ perchè sarà composto da 25 -1, 23 +1, due +2 e un -2.

Concordi?

[Marco]

Boh, per me il testo era poco chiaro e resta poco chiaro. Io lo interpreto che {-1, +1, -2, +2} è una permutazione di {+1, -1, +2, -2}.

Se vuoi le permutazioni di insiemi con molteplicità, allora si ritorna alla dimostrazione del caso distinto: caratteristica 2 e 7.

Per essere più precisi, tutti i campi di caratteristica 7 e tutti i campi di caratteristica 2, tranne $ \mathbf F_2 $.

Per char 2, basta prendere x un elemento diverso da 0 e 1, e allora 49 volte 1, x, x+1 è ok.

Per char 7, allora 51 volte 1.

Caratteristiche diverse da 2 e 7:

Chiamo $ S $ la somma degli $ a_i $. Considero la simmetria $ f(x) := S - x $. Essa ha ordine 2, quindi le sue orbite hanno 1 o 2 elementi. Dato che l'insieme permutato da $ f() $ ha 51 elementi, deve esistere almeno un'orbita singoletto. Quindi il punto fisso di $ f() $, ossia $ S/2 $ deve essere uno degli $ a_i $. In particolare, per ipotesi, non deve essere nullo, quindi $ S \neq 0 $.

Se sommo tutti gli $ a_i $ e $ b_i $ si arriva facilmente all'equazione $ 2 S = 51 S $, che non ha soluzioni. []