Febbraio 2006... solo che è polacco

[edriv]

Siano $ ~a,b,c $ reali positivi tali che:

$ ~ ab+bc+ca = abc $

Dimostrare che:

$ \displaystyle \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)} + \frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)} + \frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)} \ge 1 $

[pic88]

una soluzione che fa schifo è la seguente:
se x,y e z sono i reciproci, allora x+y+z=1.
Otteniamo
$ \displaystyle \sum_{\rm{cyc}}\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3} \ge x+y+z $
(il RHS è scritto così per rendere omogenea la disuguaglianza)


eliminando i denominatori si ha:


$ 2[7,3,0]+[4,3,3]+[6,4,0] \ge [7,3,0] + [6,4,0] + [6,3,1] + [4,3,3] $,

vera per bunching.

[Simo_the_wolf]

Oppure si sfrutta il fatto che $ 2x^4+2y^4 \geq (x^3 + y^3)(x+y) $ per riarrangiamento.