Partiamo un po' più da lontano. Perché sono nati i numeri reali?
Risposta: prima avevamo solo i razionali. Poi ci siamo accorti che erano pieni di buchi e abbiamo tappato i buchi.
Diciamo meglio: il problema è che ci sono delle sequenze di razionali che sembra proprio che convergano verso qualcosa, ma quel qualcosa, non è un razionale, il che è una bella scocciatura.
Esempio: 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, ecc... (rapporto di due numeri di Fibonacci consecutivi) è un oggetto che sembra proprio andare verso un numero che, per semplicità di trattazione, chiamerò fantasiosamente numero aureo, che però ha la disgraziata sfortuna di non esistere!
O meglio, di non esistere nei razionali, e allora? Colpo di genio: facciamo che esso numero esista e definiamo un insieme di numeri (chiamiamoli, per amore di esposizione, irrazionali) che grosso modo si possono fare così. Et voila: abbiamo preso i razionali. C'era un buco in corrispondenza del numero aureo. Abbiamo detto che in quel buco invece c'è un numero in carne ed ossa e abbiamo elegantemente risolto il problema dei buchi. Se pigliamo tutti i numeri, razionali e no, abbiamo un nuovo oggetto che chiamiamo insieme dei reali.
Quali sono gli ingredienti della ricetta? Beh, senz'altro i numeri razionali. Poi abbiamo detto quando due numeri sono vicini o lontani, vale dire ci abbiamo messo su una topologia. Anzi, meglio, una metrica. Dopo aver detto chi sta vicino a cosa nei razionali, abbiamo potuto fare i limiti e abbiamo anche visto che alcune volte i limiti escono dai razionali (quando si incappa in un buco). Cioè che i razionali sono incompleti. Se sono incompleti, allora possiamo completarli (e c'è un modo solo per farlo in modo tale da preservare la metrica, ossia che roba vicina converga a roba vicina).
Ok. Campo dei razionali, una metrica, completamento. Qual'è la metrica che abbiamo scelto? Beh, quella solita: due razionali distano d, quando la loro differenza è d. La metrica che nasce dalla geometria euclidea. Chiamiamola metrica euclidea. Quindi i reali sono il completamento euclideo dei razionali.
[a questo punto alzi la mano chi è ancora convinto al 100% di sapere la definizione di numero reale
]
Bene. Ma... e se invece cambio la metrica? Beh, quello che ottengo sarà qualcosa solo apparentemente uguale ai razionali. Infatti se lo completo non avrò i reali, ma qualcos'altro.
Oh, allora, hai tirato fuori la menata dei numeri decadici, spiegacela. E sia, i razionali sono quelli soliti. Mi serve una distanza. Quale piglio?
Beh, vi sembrerà buffa, ma prendete questa:
diciamo che $ q $ è un numero razionale diverso da 0. Definisco un numero intero $ v $ come il più grande numero per cui $ \frac{q}{10^v} $ è intero oppure è periodico senza antiperiodo. Detto in altri termini, $ v $ è quell'unico intero per cui posso scrivere $ q = 10^v \frac a b $, con $ a $ e $ b $ interi, $ a $ non divisibile per 10 e $ b $ coprimo con 10.
Esercizio 1: Dimostrare l'ultima frase.
Corollario: $ v $ esiste per ogni $ q \neq 0 $. $ v $ è detto la
valutazione decadica di $ q $.
Ok. Dati due numeri $ q_1 $ e $ q_2 $, diciamo che la loro distanza è:
- 0, se i due numeri coincidono
- $ 10^-v $ se $ v $ è la valutazione di $ q_1 - q_2 $.
Ad esempio, la distanza tra 13 e 1.000.000.013 è un miliardesimo, mentre la distanza tra 13 e 13,1 è dieci. Buffo, no?
Beh, che ci crediate o no, questa è proprio una distanza ben formata, ossia che rispetta gli assiomi di distanza. Anzi:
Esercizio 2: Dimostrare che vale la disuguaglianza triangolare.
Tutto quest'attrezzo si chiama distanza decadica. Bene. Abbiamo i razionali. Abbiamo la metrica. Ci manca qualche buco, da riempire con il completamento; ossia una successione di razionali che dovrebbe convergere ma non lo fa. Dato che dovrebbe convergere, dico che coverge ad un certo numero che mi sto inventando quiperquì che chiamerò in onore del nostro eroe, numero di Polibio.
Ad esempio, prendiamo la successione
14159265... delle cifre decimali di $ \pi $. Definiamo la successione di razionali:
1
41
141
5141
95141
...
come faceva Polibio, rovesciando la sequenza di cifre decimali. Ora, questa è una successione che, se vista nella metrica decadica, ha un sacco di belle speranze di convergere, dato che la distanza tra un termine e il successivo tende a 0 molto presto. Purtroppo non lo fa. A cosa dovrebbe convergere? a qualcosa la cui ultima cifra è 1. Le ultime due sono 41. Le ultime tre sono 141. Ecc... Con poca fantasia, possiamo inventarci un numero di Polibio e indicarlo con
...56295141
che è il limite "irrazionale" della sequenza data. L'insieme di tutti i numeri, razionali e di Polibio, è il completamento decadico dei razionali. Sono proprio i numeri con [eventualmente] infinite cifre che piacciono al Nostro. E, naturalmente, sono molto di più che numerabili...
Per finire, l'esercizio di Cortona che ricordavo:
Esercizio 3: Dimostrare che esistono due interi di Polibio diversi da 0, ma il cui prodotto è 0.
N.B.: le ultime k cifre di un prodotto di interi di Polibio sono date dalle ultime k cifre del prodotto delle ultime k cifre dei fattori.
(Specialmente sentendosene dire nel frattempo una 10 volte migliore, anche ammesso che questa sia giusta).
Lo so che era un preIMO (e peraltro un pochino strano come preIMO), ma l'opportunità di usare le cose fatte giusto il giorno prima a corso interno mica capita spesso! A me trovare quella soluzione è piaciuto 