IMC 2002

[pic88]

Esiste una funzione $ C^{\infty} $ definita da $ \mathbb{R} $ in $ \mathbb{R} $ sempre positiva e tale che $ f'(x)=f(f(x)) $?

[EvaristeG]

Hmm se $ f(x)>0 $ per ogni x, allora $ f'(x)>0 $ e dunque è monotona crescente.
$ \lim_{x\to-\infty}f(x)=m\geq0 $ (esiste per monotonia)
quindi
$ \lim_{x\to-\infty}f'(x)=0 $ (perchè f ha un asintoto)
ma dunque
$ \lim_{x\to-\infty}f(f(x))=0 $ (sfruttando l'ipotesi)
ma allora per continuità
$ f(m)=0 $
assurdo.
Non capisco dove serva che è C-infinito...
Se invece con positivo intendi non negativo, è un'altra storia.

[pic88]

Non capisco dove serva che è C-infinito...

ok, in effetti non serviva... ora che ricordo il testo diceva "continuously differentiable", quindi $ C^1 $

[EvaristeG]

Tanto per provare ... cosa succede se si chiede solo che $ f(x)\geq 0 $? Ovvero se si ammette che f assuma anche il valore 0? A quel punto f costantemente nulla è soluzione, ma è l'unica?
Non ho ancora provato seriamente a farlo ... un caso facile è quando f è analitica.