y|x^2+1 e x^2|y^3+1

[pi_greco_quadro]

Trovare tutte le coppie ordinate di interi positivi $ \displaystyle (x,y) $ t.c.

$ \displaystyle y\mid x^2+1 $ e $ \displaystyle x^2\mid y^3+1 $

Assicuro la non difficoltà dell'esercizio.. ciao ciao

[edriv]

Assicuro la non difficoltà dell'esercizio.. ciao ciao

Assicuro $ ~ \pi^2 $ ha un concetto della difficoltà relativo...

Io ci ho provato un po' con questo problemino, le prime soluzioni che mi sono venute in mente sono:

Codice: Seleziona tutto

x,y = ( 1 ,  1 )
x,y = ( 1 ,  2 )
x,y = ( 2 ,  1 )
x,y = ( 2 ,  5 )
x,y = ( 3 ,  2 )
x,y = ( 3 ,  5 )
x,y = ( 7 ,  5 )
x,y = ( 7 ,  10 )
x,y = ( 9 ,  2 )
x,y = ( 9 ,  41 )
x,y = ( 13 ,  10 )
x,y = ( 13 ,  17 )
x,y = ( 18 ,  5 )
x,y = ( 18 ,  65 )
x,y = ( 21 ,  17 )
x,y = ( 21 ,  26 )
x,y = ( 31 ,  26 )
x,y = ( 31 ,  37 )
x,y = ( 42 ,  5 )
x,y = ( 42 ,  353 )
x,y = ( 43 ,  37 )
x,y = ( 43 ,  50 )
x,y = ( 57 ,  50 )
x,y = ( 57 ,  65 )
x,y = ( 63 ,  5 )
x,y = ( 63 ,  794 )
x,y = ( 73 ,  65 )
x,y = ( 73 ,  82 )
x,y = ( 77 ,  10 )
x,y = ( 77 ,  593 )
x,y = ( 91 ,  82 )
x,y = ( 91 ,  101 )
x,y = ( 111 ,  101 )
x,y = ( 111 ,  122 )
x,y = ( 133 ,  122 )
x,y = ( 133 ,  145 )
x,y = ( 143 ,  10 )
x,y = ( 143 ,  2045 )
x,y = ( 157 ,  145 )
x,y = ( 157 ,  170 )
x,y = ( 183 ,  170 )
x,y = ( 183 ,  197 )
x,y = ( 211 ,  197 )
x,y = ( 211 ,  226 )
x,y = ( 234 ,  17 )
x,y = ( 234 ,  3221 )
x,y = ( 241 ,  226 )
x,y = ( 241 ,  257 )
x,y = ( 273 ,  257 )
x,y = ( 273 ,  290 )
x,y = ( 307 ,  290 )
x,y = ( 307 ,  325 )
x,y = ( 343 ,  325 )
x,y = ( 343 ,  362 )
x,y = ( 378 ,  17 )
x,y = ( 378 ,  8405 )
x,y = ( 381 ,  362 )
x,y = ( 381 ,  401 )
x,y = ( 421 ,  401 )
x,y = ( 421 ,  442 )
x,y = ( 463 ,  442 )
x,y = ( 463 ,  485 )
x,y = ( 507 ,  485 )
x,y = ( 507 ,  530 )
x,y = ( 553 ,  530 )
x,y = ( 553 ,  577 )
x,y = ( 567 ,  26 )
x,y = ( 567 ,  12365 )
x,y = ( 601 ,  577 )
x,y = ( 601 ,  626 )
x,y = ( 651 ,  626 )
x,y = ( 651 ,  677 )
x,y = ( 703 ,  677 )
x,y = ( 703 ,  730 )
x,y = ( 746 ,  89 )
x,y = ( 746 ,  6253 )
x,y = ( 757 ,  730 )
x,y = ( 757 ,  785 )
x,y = ( 813 ,  785 )
x,y = ( 813 ,  842 )
x,y = ( 837 ,  26 )
x,y = ( 837 ,  26945 )
x,y = ( 871 ,  842 )
x,y = ( 871 ,  901 )
x,y = ( 931 ,  901 )
x,y = ( 931 ,  962 )
x,y = ( 945 ,  89 )
x,y = ( 945 ,  10034 )
x,y = ( 993 ,  962 )
x,y = ( 993 ,  1025 )
x,y = ( 1057 ,  1025 )
x,y = ( 1057 ,  1090 )
x,y = ( 1123 ,  1090 )
x,y = ( 1123 ,  1157 )
x,y = ( 1131 ,  173 )
x,y = ( 1131 ,  7394 )
x,y = ( 1178 ,  37 )
x,y = ( 1178 ,  37505 )
x,y = ( 1191 ,  1157 )
x,y = ( 1191 ,  1226 )
x,y = ( 1261 ,  1226 )
x,y = ( 1261 ,  1297 )
x,y = ( 1333 ,  1297 )
x,y = ( 1333 ,  1370 )
x,y = ( 1407 ,  1370 )
x,y = ( 1407 ,  1445 )
x,y = ( 1483 ,  1445 )
x,y = ( 1483 ,  1522 )
x,y = ( 1561 ,  1522 )
x,y = ( 1561 ,  1601 )
x,y = ( 1634 ,  37 )
x,y = ( 1634 ,  72161 )
x,y = ( 1641 ,  1601 )
x,y = ( 1641 ,  1682 )
x,y = ( 1723 ,  1682 )
x,y = ( 1723 ,  1765 )
x,y = ( 1807 ,  1765 )
x,y = ( 1807 ,  1850 )
x,y = ( 1893 ,  1850 )
x,y = ( 1893 ,  1937 )
x,y = ( 1981 ,  1937 )
x,y = ( 1981 ,  2026 )

Ma quando ho scoperto che non c'era nessuna soluzione con x=2007, devo dire che questo problema mi ha deluso...

[pi_greco_quadro]

Infatti ho sbagliato io a scrivere il testo dell'esercizio che provvedo subito ad editare

[edriv]

ehm... un hint per questo problema?

[Leblanc]

Mi suona strano il fatto che non uso quasi mai che x^2 e' un quadrato perfetto, comunque...

Per la prima condizione, $ x^2=ky-1 $ con $ k $ intero.
Per la seconda condizione, $ ky-1|y^3-1 $; $ ky-1|y^3+1+ky-1=y^3+ky=(y^2+k)y $. Dato che $ y $ e $ ky-1 $ sono coprimi, $ ky-1|y^2+k $. Inoltre $ ky-1|k(y^2+k)-y(ky-1)=y+k^2 $.
Ora, cerco di dimostrare che 'molto spesso' $ ky-1 $ e' maggiore di uno tra $ y+k^2 $ e $ y^2+k $, che invece dovrebbe dividere.

Dimostro quindi in generale che se $ a<b $ allora $ ab-1>a^2+b $, a meno dei casi particolari $ a=1, 2, 3 $ o $ b=a+1 $. Questa sottotesi infatti e' equivalente a $ (a-1)(b-a-1)>2 $, che e' evidentemente verificata se si escludono i casi indicati sopra.

Tornando al problema generale, quindi, mi resta solo da dimostrare la tesi nei casi particolari $ k=1, 2, 3 $, $ y=1, 2, 3 $, $ k=y+/-1 $.

Nei primi 3 casi e nell'ultimo parto da $ ky-1|y+k^2 $, sostituisco e ottengo i valori buoni di y, che poi verifico nell'equazione di partenza. Negli altri casi faccio lo stesso con $ ky-1|y^2+k $.
Vi prego, non fatemi scrivere i conti
Se a qualcuno non e' chiara la fine, comunque, chieda e li posto...