differenziale

[R7R9R10K22]

salve a tutti...sono nuovo del forum e avevo un dubbio sui differenziali che mi assilla...sul libro di testo che uso a scuola c'è scritto DEFINESCESI DIFFERENZIALE DELLA FUNZIONE f(x) NEL PUNTO x=c IL PRODOTTO DELLA DERIVATA DELLA FUNZIONE DEL PUNTO c (CIOè f'(c)) PER L'INCREMENTO DELLA VARIABILE X (CIOè deltax)...POI CONSIDERANDO LA FUNZIONE IDENTICA y=x SI HA dy=dx=deltax ESSENDO f'(x)=1...ora i miei dubbi sono i seguenti:
1) nella definizione di differenziale non ha importanza se nell'intervallo deltax la funzione f(x) è derivabile o meno
2) il fatto che dx=dy in y=x come si giustifica
3) il fatto che dy=dx=deltax in y=x vale anche quando abbiamo una y=f(x) diversa da y=x, o meglio dx=deltax anche con tutte le altre funzioni diverse da y=x
4) è giusta la definizione di differenziale che ho messo all'inizio
5) qual'è la definizione di dx; il prof ha detto che "dx=lim(per deltax tendente a 0) di deltax", ma se così è allora significa che dx=0 sempre perchè sempre indipendentemente dalla funzione "lim(per deltax tendente a 0) di deltax=0" essendo "lim(per x tendete a c) di x=c", e quindi dy è sempre 0
potete rispondere a tutti e 5 i quesiti
grazie a tutti e perdonatemi per la mia ignoranza

[MindFlyer]

Il tuo prof non ha capito una fava, complimenti.
In genere questa è una delle domande che i professori glissano perché ne sanno meno degli studenti. Ma poiché un professore NON PUO' dire "non lo so", allora sparerà la risposta che per prima gli passa per la mente.

[R7R9R10K22]

caspita, qui la cosa allora diventa grave... per favore rispondete

[Nonno Bassotto]

Io un libro che inizia una frase con "definescesi" non lo prenderei molto in considerazione. Comunque cerco di rispondere.

Il differenziale di f nel punto x è definito se e solo se f è derivabile in x. In tal caso chiama f'(x) la derivata. Il differenziale di f in x è l'applicazione da R in R che manda t in f'(x)t. Chiamiamo questa funzione df(x). Conoscere questa applicazione o conoscere la derivata di f è la stessa cosa, il che è la ragione per cui finché uno studia funzioni di una variabile introdurre i differenziali non serve a niente.

Quindi la risposta alla 4) è: no. Di conseguenza non hanno molto senso nemmeno le domande 1, 2 e 3.

I fisici tendono a pensare il differenziale come l'incremento infinitesimo della funzione nel punto x. Infatti prendi h molto piccolo. Allora f(x+h)-f(x) è molto vicino a f'(x)h. Se ci possiamo permettere di fare un'approssimazione (che sarà tanto più precisa quanto più h è piccolo), diciamo che $ f(x+h)-f(x) \sim f'(x)h $. Ripeto, non si ha l'uguaglianza, ma per h che tende a 0 il rapporto tra membro destro e sinistro tende a 1.

D'altra parte f'(x)h è il valore dell'applicazione df(x) (differenziale di f in x) nel punto h. Quindi abbiamo $ f(x+h)-f(x) \sim df(x) (h) $. I fisici impropriamente scrivono questa cosa dicendo che quando h è infinitesimo (il che non significa nulla, a meno che uno non entri nel'analisi non standard) si ha l'uguaglianza. In questo caso usano il simbolo dh per indicare che h è infinitesimo e arrivano all'uguaglianza $ f(x+dh)-f(x) = df(x) dh $

Spero che si sia capito qualcosa.
CIao

[R7R9R10K22]

grazie a nonno bassotto abbiamo capito che l'argomento è molto più complicato dei quanto sembra e che non semprei libri la fanno giusta...qualche cosina si è capita...solo una domanda: per applicazione intendi funzione?...grazie
ovviamente se qualcuno ha altro da aggiungere lo faccia

[MindFlyer]

Rispondo per Nonno_Bassotto, non credo che me ne vorrà.
Sì, applicazione è sinonimo di funzione.

[R7R9R10K22]

ringrazio mindflyer per la delucidazione...continuate a rispondere