fatterello triangolare

[pi_greco_quadro]

Siano $ a,b,c $ i lati di un triangolo acutangolo, $ h_a,h_b,h_c $ le lunghezze delle sue altezze, $ d_a,d_b,d_c $ le distanze dai vertici all'ortocentro.

Dimostrare $ \displaystyle h_ad_a+h_bd_b+h_cd_c= \frac{a^2+b^2+c^2}{2} $

[edriv]

Immaginina:


Allora, se ho disegnato le circonferenze è perchè ho intenzione di usare le potenze. Infatti, per le potenze, abbiamo:
$ \displaystyle AH \cdot AD = AF \cdot AB $
$ \displaystyle AH \cdot AD = AE \cdot AC $
Il problema è... quale scegliere?? Per salvare la simmetria, ci toccherà scendere ai compromessi.
$ \displaystyle 2AH \cdot AD = AF \cdot AB + AE \cdot AC $

Ma questo compromesso ci è di gran lunga utile.
$ \displaystyle 2AH \cdot AD + 2BH \cdot BE + 2 CH \cdot CF = $
$ \displaystyle = AF \cdot c + AE \cdot b + BD \cdot a + BF \cdot c + CE \cdot b + CD \cdot a = $
$ \displaystyle = a(BD+CD) + b(CE+AE) + c(AF+BF) = a^2+b^2+c^2 $

[Leandro]

Una soluzione un po' calcolosa...ma non troppo.
Siano ABC il triangolo,H il suo ortocentro e H' l'intersezione
di BH con la circonferenza circoscritta ad ABC.Come e' noto
H ed H' sono simmetrici rispetto al lato AC (per la dimostrazione
considerare gli angoli col punto in rosso).Si ha allora:
(1) $ h_a=\bar{AK}=\bar{AB}\sin\beta=c\sin\beta $
(2) $ d_a=\bar{AH}=\bar{AH'}=2R\sin(\pi/2-\alpha)=\frac{b}{\sin\beta}\cos\alpha $
Moltiplicando (1) e (2) risulta:
$ h_ad_a=bc\cos\alpha $ e per Carnot:
$ h_ad_a=\frac{b^2+c^2-a^2}{2} $ e cosi' ciclicamente per gli altri due lati di ABC.
Ne segue che:
$ \sum(hd)=\frac{a^2+b^2+c^2}{2} $
C.V.D.
Leandro