perimetro triangolo
perimetro triangolo
Non so se bisogna metterlo in questa sezione perchè non è una dimostrazione comunque :"Un triangolo ABC ha l'angolo in B di 120° e l'area di (sqrt3)*125 cm quadrati; sapendo che il lato BC è 5/4 del lato AB, calcolare il perimetro del triangolo". E' preso da un libro scolastico di seconda superiore ma reputo sia interessante almeno per i ragazzi che hanno circa questa età. P.S con sqrt3 intendo la radice quadrata di 3. [/tex]
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MdF
Non posso fare figure, altrimenti si vedrebbe bene il "trucco" usato.
Sulla retta AB si traccia l'angolo supplementare del 120°: è 60°. Se si traccia l'altezza del triangolo a partire da C, il triangolo esterno a quello dato è rettangolo con angoli di 30° e 60°. Quindi l'altezza è l'ipotenusa, divisa per 2, moltiplicata per $ $ \sqrt{3} $ $, cioè $ $ \frac{BC}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\frac{5}{4}AB}{2} \cdot \sqrt{3} $ $.
A tal punto, l'area è questa altezza trovata per il lato AB. Tutto è in funzione di AB:
$ $ 125\sqrt{3} = \frac{\frac{5}{4}AB}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot AB \cdot \frac{1}{2} $ $
semplificando un po', si trova $ $ AB = 20 $ $. Allora $ $ BC = 25 $ $.
Per trovare AC è un po' brigosa la faccenda, ma non impossibile: si considera, come triangolo, quello rettangolo ottenuto unendo quello originario a quello fittizio usato per calcolare l'altezza. I suoi lati sono l'altezza (già calcolata) e AB+il cateto minore del triangolo adiacente, cioè la metà di BC. Col teorema di Pitagora si trova AC. Mi sono incartato coi conti, ai volenterosi la conclusione.
Per chi ha fatto un po' di trigonometria, poi, sapendo due lati e l'angolo compreso si applica (vorrei dire banalmente, ma non è il caso) il Teorema di Carnot o del Coseno, si trova l'altro lato e si risale agli altri col Teorema del Seno.
Sulla retta AB si traccia l'angolo supplementare del 120°: è 60°. Se si traccia l'altezza del triangolo a partire da C, il triangolo esterno a quello dato è rettangolo con angoli di 30° e 60°. Quindi l'altezza è l'ipotenusa, divisa per 2, moltiplicata per $ $ \sqrt{3} $ $, cioè $ $ \frac{BC}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\frac{5}{4}AB}{2} \cdot \sqrt{3} $ $.
A tal punto, l'area è questa altezza trovata per il lato AB. Tutto è in funzione di AB:
$ $ 125\sqrt{3} = \frac{\frac{5}{4}AB}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot AB \cdot \frac{1}{2} $ $
semplificando un po', si trova $ $ AB = 20 $ $. Allora $ $ BC = 25 $ $.
Per trovare AC è un po' brigosa la faccenda, ma non impossibile: si considera, come triangolo, quello rettangolo ottenuto unendo quello originario a quello fittizio usato per calcolare l'altezza. I suoi lati sono l'altezza (già calcolata) e AB+il cateto minore del triangolo adiacente, cioè la metà di BC. Col teorema di Pitagora si trova AC. Mi sono incartato coi conti, ai volenterosi la conclusione.
Per chi ha fatto un po' di trigonometria, poi, sapendo due lati e l'angolo compreso si applica (vorrei dire banalmente, ma non è il caso) il Teorema di Carnot o del Coseno, si trova l'altro lato e si risale agli altri col Teorema del Seno.