Si consideri l'equazione
$ x^{2001}=y^x $
a)determinare tutte le soluzioni tali che x è primo e y intero positivo
b)determinare tutte le soluzioni x, y intere positive
ps: $ 2001=3\cdot23\cdot29 $
Cesenatico 2003, ma molto facile, specie la parte a), sconsigliato ai più esperti_ che lo sapranno a memoria
x^2001=y^x
x^2001=y^x
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]
sì va benegiove ha scritto:Effettivamente la parte a è semplice (quindi avrò sicuramente sbagliato qualcosa):
$ x=3;y=3^{23 \cdot 29} $
$ x=23;y=23^{3 \cdot 29} $
$ x=29;y=29^{3 \cdot 23} $
Per la seconda parte si vedrà!
magari posta anche il ragionamento però (cioè se a Cesenatico scrivi così ti daranno sì e no un punto)[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]
$ x^{3 \cdot 23 \cdot 29}=y^x $
quindi deve essere l'esponente della seconda uguale 2001, ma poichè x
deve essere primo, esso può assumere solo i valori 3, 23, 29
e quindi le soluzioni sono
$ x=3; y=3^{23 \cdot 29} $
$ x=23; y=23^{3 \cdot 29} $
$ x=29; y=29^{3 \cdot 23} $
x non può assumere nessun altro valore (primo) perchè altrimenti
l'esponente del secondo membro avrebbe altri fattori che non potrebbero
comparire all'esponente del primo membro poichè x non sarebbe + primo
Così a 2 punti ci arriverei? mi sa proprio di no...
un pò di tempo per scriverlo e posto il secondo
quindi deve essere l'esponente della seconda uguale 2001, ma poichè x
deve essere primo, esso può assumere solo i valori 3, 23, 29
e quindi le soluzioni sono
$ x=3; y=3^{23 \cdot 29} $
$ x=23; y=23^{3 \cdot 29} $
$ x=29; y=29^{3 \cdot 23} $
x non può assumere nessun altro valore (primo) perchè altrimenti
l'esponente del secondo membro avrebbe altri fattori che non potrebbero
comparire all'esponente del primo membro poichè x non sarebbe + primo
Così a 2 punti ci arriverei? mi sa proprio di no...
un pò di tempo per scriverlo e posto il secondo
Ultima modifica di Sherlock il 18 feb 2007, 11:51, modificato 11 volte in totale.
un pò contorto ma va bene... 
bravo così
bravo così
Ultima modifica di salva90 il 18 feb 2007, 11:53, modificato 1 volta in totale.
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]
Che faticaccia...
non è che il latex l'ho scordato semplicemente come ti avevo spiegato è la prima volta che posto qualcosa di numerico
che è abbastanza contorto l'avevo gia capito l'ho postato solo per provare il latex...ma per l'ultima mia affermazione in una gara sarebbe meglio mettere una dimostrazione, vero?
non è che il latex l'ho scordato semplicemente come ti avevo spiegato è la prima volta che posto qualcosa di numerico
che è abbastanza contorto l'avevo gia capito l'ho postato solo per provare il latex...ma per l'ultima mia affermazione in una gara sarebbe meglio mettere una dimostrazione, vero?
qui è meglio se te lo dice qualcuno che ha più esperienza... non credo comunque ti possano 'massacrare' più di tantoSherlock ha scritto: che è abbastanza contorto l'avevo gia capito l'ho postato solo per provare il latex...ma per l'ultima mia affermazione in una gara sarebbe meglio mettere una dimostrazione, vero?
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Sì, sì, prima ero un po' di fretta, ma adesso posso soffermarmi anche sulla parte b.
Intanto, per la a ho ragionato così:
Prendendo ad esempio $ x=2 $ si ha che $ 2^{2001}=y^2 $, ma $ 2^{2001} $ non è un quadrato perfetto, quindi non funziona. Stesso ragionamento per qualunque primo che non divide 2001, perché y non risulterebbe intero.
Quindi x può essere solo un divisore di 2001, così si possono "semplificare" gli esponenti e ottenere per y un valore intero.
Parte b:
Sicuramente per x possono funzionare i divisori di 2001, per il motivo detto prima.
Al contrario, essendo $ \displaystyle y=x^{ \frac{2001}{x}} $ se x non divide 2001 allora è necessario che $ x=a^b $ con a,b interi positivi e $ \displaystyle a^{\frac {2001b}{a^b}} $ sia intero.
Quindi $ \displaystyle \frac {2001b}{a^b} $ deve essere intero. Questo funziona se e solo se $ b=1 $ e $ a|2001 $, infatti per $ b>1 $, b dovrebbe essere minore o uguale al minore tra gli esponenti di 2001 b, ma gli esponenti di 2001 b aumentano tutti di 1 quando b = 2001, allora gli esponenti raggiungeranno 2001 quando $ b=2001^{2001} $ eccetera.
Quindi gli unici valori possibili per x sono i divisori interi di 2001.
Intanto, per la a ho ragionato così:
Prendendo ad esempio $ x=2 $ si ha che $ 2^{2001}=y^2 $, ma $ 2^{2001} $ non è un quadrato perfetto, quindi non funziona. Stesso ragionamento per qualunque primo che non divide 2001, perché y non risulterebbe intero.
Quindi x può essere solo un divisore di 2001, così si possono "semplificare" gli esponenti e ottenere per y un valore intero.
Parte b:
Sicuramente per x possono funzionare i divisori di 2001, per il motivo detto prima.
Al contrario, essendo $ \displaystyle y=x^{ \frac{2001}{x}} $ se x non divide 2001 allora è necessario che $ x=a^b $ con a,b interi positivi e $ \displaystyle a^{\frac {2001b}{a^b}} $ sia intero.
Quindi $ \displaystyle \frac {2001b}{a^b} $ deve essere intero. Questo funziona se e solo se $ b=1 $ e $ a|2001 $, infatti per $ b>1 $, b dovrebbe essere minore o uguale al minore tra gli esponenti di 2001 b, ma gli esponenti di 2001 b aumentano tutti di 1 quando b = 2001, allora gli esponenti raggiungeranno 2001 quando $ b=2001^{2001} $ eccetera.
Quindi gli unici valori possibili per x sono i divisori interi di 2001.