Parti intere che partizionano N

[Simo_the_wolf]

Prima di creare scompiglio questo lo metto qui...

Vi lascio come esercizio dimostrare che se $ \frac 1a + \frac 1b =1 $ con $ a,b>1 $ allora $ A=\{ \lfloor na \rfloor | n \in N_0\} $ e $ B=\{ \lfloor nb \rfloor | n \in N_0 \} $ sono disgiunti e la loro unione è $ N_0 $.

In particolare vale il se e solo se.

EDIT: $ a $ e $ b $ sono irrazionali...

[Marco]

??? $ a=b=2 $? Forse manca l'ipotesi di irrazionalità?

[rand]

Per dimostrare il "se" si può osservare che :

$ ma < n < n+1 < (m+1)a $ $ \leftrightarrow $ $ n < (n-m)b < n + 1 $

Il che sta a dire che un intero sta in B se e solo se non sta in A il che poi implica che A e B partizionano $ N_{0} $. (p.s.: volevo scriverli quei due passaggi intermedi che legano i due termini di sopra ma, per ragioni a me oscure, l'interprete latex troncava a metà le formule così dopo quindici minuti di prove ho desistito... )