Discontinuità
Discontinuità
Da un orale non-standard di analisi:
Dimostrare che l'insieme dei punti di discontinuità di una funzione da R in R debolmente crescente è al più numerabile.
Determinare una funzione da R in R debolmente crescente e continua solo negli irrazionali.
Dimostrare che l'insieme dei punti di discontinuità di una funzione da R in R debolmente crescente è al più numerabile.
Determinare una funzione da R in R debolmente crescente e continua solo negli irrazionali.
Re: Discontinuità
$ \displaystyle f(x) = 1 $, $ \forall x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} $;sqrt2 ha scritto:
Determinare una funzione da R in R debolmente crescente e continua solo negli irrazionali.
$ \displaystyle f(x) = 0 $, $ \forall x \in \mathbb{Q} $.
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
@Gauss: la tua non è crescente:
$ \pi \lessdot 4 $, ma $ f(\pi) \gtrdot f(4) $.
@SkZ: Se $ x<y $ allora $ f(x) \leqslant f(y) $. E' la monotonia non stretta.
EDIT: l'interprete LaTeX dà un po' fuori di matto. Sono costretto ad usare $ \lessdot $ e $ \gtrdot $ al posto di minore e maggiore. Qualcuno sa perché faccia così?
--------
Puoi costruire una funzione iniettiva dai punti di discontinuità ai razionali nel seguente modo:
Sia $ \scriptscriptstyle x_0 $ un punto qualsiasi. Per la monotonia puoi dire che
$ \scriptscriptstyle \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \sup_{x < x_0} f(x) $
e analogamente il limite destro. In particolare entrambi i limiti esistono finiti.
Il p.to $ \scriptscriptstyle x_0 $ è di d.ct.tà sse il limite sinistro è minore stretto del limite destro. Considero l'intervallo compreso tra il limite sinistro e il limite destro (estremi esclusi). Esso contiene almeno un razionale, che chiamo $ \scriptscriptstyle g(x_0) $.
$ \scriptscriptstyle g $ è funzione dai p.ti di d.ct.tà ai razionali, con la proprietà che
$ \scriptscriptstyle \sup_{x \lessdot x_0} f(x) \lessdot g(x_0) \lessdot inf_ \gtrdot x_0} f(x) $.
L'iniettività è banale dalla monotonia: se fosse $ \scriptscriptstyle g(x_0) = g(x_1) $, con $ \scriptscriptstyle x_0 < x_1 $, entrambi p.ti di d.ct.tà, allora necessariamente
$ \scriptscriptstyle g(x_0) \lessdot \inf_{x \gtrdot x_0} f(x) \leqslant \sup_{x \lessdot x_1} f(x) \lessdot g(x_1) $. Assurdo.
--------
Per il secondo punto, l'ho fatta con una numerazione dei razionali
$ \scriptscriptstyle q: \mathbf N \to \mathbf Q $ funzione bigettiva.
Definisco $ \scriptscriptstyle h:\mathcal P(\mathbf N) \to \mathbf R $ come $ \scriptscriptstyle g(A) := \sum_{i \in A} 3^{-i} $.
Essa è una funzione ben definita (in quanto la serie è convergente), strettamente crescente (rispetto all'inclusione), limitata. Inoltre è iniettiva, per la rappresentazione in base 3 dei numeri reali.
Sia allora $ \scriptscriptstyle h: \mathbf R \to \mathbf R $ data da
$ \scriptscriptstyle h(x) = g(\{ i \in \mathbf N : q(i) < x \}) $. Dico che questa funzione va bene.
E' crescente (segue dalla monotonia di $ \scriptscriptstyle g $ rispetto all'inclusione) [anzi è addirittura strettamente crescente].
Per provare la [dis]ct.tà, basta osservare la seguente interpretazione del limite destro e sinistro:
$ \scriptscriptstyle \sup_{x \lessdot x_0} h(x) = g \left( \bigcup_{x \lessdot x_0} \{ i \in \mathbf N : q(i) \lessdot x \} \right) $
$ \scriptscriptstyle \inf_{x \gtrdot x_0} h(x) = g \left( \bigcap_{x \gtrdot x_0} \{ i \in \mathbf N : q(i) \lessdot x \} \right) $
[seguono dalla monotonia rispetto all'inclusione].
Ma allora negli irrazionali è continua [basta far vedere che l'unione e l'intersezione coincidono], mentre nei razionali è discontinua. [l'unione non contiene $ \scriptscriptstyle q^{-1}(x_0) $, mentre l'intersezione sì].
$ \pi \lessdot 4 $, ma $ f(\pi) \gtrdot f(4) $.
@SkZ: Se $ x<y $ allora $ f(x) \leqslant f(y) $. E' la monotonia non stretta.
EDIT: l'interprete LaTeX dà un po' fuori di matto. Sono costretto ad usare $ \lessdot $ e $ \gtrdot $ al posto di minore e maggiore. Qualcuno sa perché faccia così?
--------
Puoi costruire una funzione iniettiva dai punti di discontinuità ai razionali nel seguente modo:
Sia $ \scriptscriptstyle x_0 $ un punto qualsiasi. Per la monotonia puoi dire che
$ \scriptscriptstyle \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \sup_{x < x_0} f(x) $
e analogamente il limite destro. In particolare entrambi i limiti esistono finiti.
Il p.to $ \scriptscriptstyle x_0 $ è di d.ct.tà sse il limite sinistro è minore stretto del limite destro. Considero l'intervallo compreso tra il limite sinistro e il limite destro (estremi esclusi). Esso contiene almeno un razionale, che chiamo $ \scriptscriptstyle g(x_0) $.
$ \scriptscriptstyle g $ è funzione dai p.ti di d.ct.tà ai razionali, con la proprietà che
$ \scriptscriptstyle \sup_{x \lessdot x_0} f(x) \lessdot g(x_0) \lessdot inf_ \gtrdot x_0} f(x) $.
L'iniettività è banale dalla monotonia: se fosse $ \scriptscriptstyle g(x_0) = g(x_1) $, con $ \scriptscriptstyle x_0 < x_1 $, entrambi p.ti di d.ct.tà, allora necessariamente
$ \scriptscriptstyle g(x_0) \lessdot \inf_{x \gtrdot x_0} f(x) \leqslant \sup_{x \lessdot x_1} f(x) \lessdot g(x_1) $. Assurdo.
--------
Per il secondo punto, l'ho fatta con una numerazione dei razionali
$ \scriptscriptstyle q: \mathbf N \to \mathbf Q $ funzione bigettiva.
Definisco $ \scriptscriptstyle h:\mathcal P(\mathbf N) \to \mathbf R $ come $ \scriptscriptstyle g(A) := \sum_{i \in A} 3^{-i} $.
Essa è una funzione ben definita (in quanto la serie è convergente), strettamente crescente (rispetto all'inclusione), limitata. Inoltre è iniettiva, per la rappresentazione in base 3 dei numeri reali.
Sia allora $ \scriptscriptstyle h: \mathbf R \to \mathbf R $ data da
$ \scriptscriptstyle h(x) = g(\{ i \in \mathbf N : q(i) < x \}) $. Dico che questa funzione va bene.
E' crescente (segue dalla monotonia di $ \scriptscriptstyle g $ rispetto all'inclusione) [anzi è addirittura strettamente crescente].
Per provare la [dis]ct.tà, basta osservare la seguente interpretazione del limite destro e sinistro:
$ \scriptscriptstyle \sup_{x \lessdot x_0} h(x) = g \left( \bigcup_{x \lessdot x_0} \{ i \in \mathbf N : q(i) \lessdot x \} \right) $
$ \scriptscriptstyle \inf_{x \gtrdot x_0} h(x) = g \left( \bigcap_{x \gtrdot x_0} \{ i \in \mathbf N : q(i) \lessdot x \} \right) $
[seguono dalla monotonia rispetto all'inclusione].
Ma allora negli irrazionali è continua [basta far vedere che l'unione e l'intersezione coincidono], mentre nei razionali è discontinua. [l'unione non contiene $ \scriptscriptstyle q^{-1}(x_0) $, mentre l'intersezione sì].
Ultima modifica di Marco il 20 feb 2007, 13:02, modificato 2 volte in totale.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Re: Discontinuità
ma scusa tu non hai detto che deve essere crescente su tutto R...sqrt2 ha scritto:Da un orale non-standard di analisi:
Dimostrare che l'insieme dei punti di discontinuità di una funzione da R in R debolmente crescente è al più numerabile.
Determinare una funzione da R in R debolmente crescente e continua solo negli irrazionali.
forse non ci siamo capiti...
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Gauss ... se si dice funzione da R in R crescente (o decrescente), di solito si intende una funzione che sia tale su tutto R cioè tale che per ogni x,y ordinati in un qualche modo, f(x) e f(y) siano ugualmente ordinati (o contrariamente). La tua non solo non è crescente su alcun intervallo, ma non è neppure continua negli irrazionali; anche qui, attenzione: una funzione da R in R è continua su un sottoinsieme E di R se è continua in ogni punto di E, non se la sua restrizione ad E è continua. La prima implica la seconda ma non viceversa.
Re: Discontinuità
@Gauss: Interpretala così:
sqrt2 ha scritto:Determinare una funzione (da R in R debolmente crescente) e (continua solo negli irrazionali).
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Re: Discontinuità
E' chiaro che tutte le discontinuità dovranno essere di prima specie, altrimenti cadrebbe l'ipotesi di crescenza. Ora i punti di discontinuità sono in bigezione coi salti, all'interno di ogni salto, essendo i razionali densi sulle y, c'è certamente un numero razionale, ergo i salti sono numerabili, ergo i punti di discontinuità.sqrt2 ha scritto:
Dimostrare che l'insieme dei punti di discontinuità di una funzione da R in R debolmente crescente è al più numerabile.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
-
- Messaggi: 774
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Nonno Bassotto
- Site Admin
- Messaggi: 970
- Iscritto il: 14 mag 2006, 17:51
- Località: Paris
- Contatta:
Wow, io sapevo il viceversa, e mi chiedevo se per ogni $ \, F_{\sigma} \, $ si potesse costruire una funzione che avesse quelle discontinuità. Non ci ho mai pensato seriamente però, perché pensavo fosse falso. Ora provo
@Marco: non credo sia l'interprete LateX, ma piuttosto phpbb, che interpreta *minore* "testo" *maggiore* come "testo" racchiuso dentro qualche tag...
@Marco: non credo sia l'interprete LateX, ma piuttosto phpbb, che interpreta *minore* "testo" *maggiore* come "testo" racchiuso dentro qualche tag...
The best argument against democracy is a five-minute conversation with the average voter. - Winston Churchill
Ok adesso scrivo un po' di stupidate... Non so se alla fine posterò qualcosa, dipende se concluderò qualcosa
Sappiamo che $ ~S=\cup_{n=1}^\infty F_n $ con $ ~F_n $ chiuso per ogni $ ~n $.
Io ho provato a fare una roba del genere... L'unica funzione onesta che mi veniva in mente che fosse discontinua massicciamente era Dirichlet. Ma questa non va bene (fosse altro perchè è definita su tutto $ ~\mathbb{R} $).
Putroppo non va bene nemmeno la sua restrizione ad $ ~S $ (nel senso che la moltiplico l'indicatrice di $ ~S $).
Quello che voglio fare è mimare Dirichlet su ogni $ ~F_n $ e fare anche in modo che la sovrapposizione di questi non mi renda la funzione continua.
Quindi il valore che ha sui razionali e sugli irrazionali deve in qualche modo essere influenzato dal chiuso in cui si trovano.
In più, poichè vorrei farla valere un valore costante (diciamo $ ~0 $) al di fuori di $ ~S $ vorrei evitarmi problemi stupidi e quindi non farla valere mai $ ~0 $ su $ ~S $, anzi vorrei tenermici lontano...
La cosa migliore è tenere il tutto più sparpagliato possibile. Quindi preso un chiuso $ ~F_n $ definiamo la funzione $ ~f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ come:
$ ~f_n(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{n} & \textrm{se $~x$ è razionale}\\ -\frac{1}{n} & \textrm{se $~x$ è irrazionale}\\ 0 & \textrm{se $~x \not \in F_n$} \end{array} \right. $
Ovviamente questa roba non è continua su $ ~F_n $ per densità (e solamente lì). Infatti se $ ~x \in F_n $ è razionale (irrazionale), se non è isolato (nella topologia indotta $ ~F_n $) ogni intorno contiene un irrazionale (razionale). Se $ ~x $ è isolato, banalmente la funzione è discontinua.
Dove ho usato il fatto che $ ~F_n $ fosse chiuso? Non l'ho usato... Però mi serve adesso per dire che non è discontinua altrove. Infatti ovviamente è continua sui punti appartenti alla parte interna di $ ~{F_n}^c $. Ma se $ ~F_n $ è chiuso il suo complementare è aperto e coincide quindi con la sua parte interna.
Ok fatto tutto questo schifo, rimonto insieme tutto. Rimonto come? Devo stare attento perchè un elemento può stare in chiusi diversi. In tal caso mi toccherà sceglierne uno! Come? In teoria pure a caso, però dato che una funzione di scelta cel'ho pronta (il minimo) la uso!
La funzione che cerco (forse sarebbe meglio dire una delle funzioni che mi vanno bene) dovrebbe quindi essere:
$ ~f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} f_n(x) & \textrm{se $~n$ è il più piccolo naturale t.c. $~x \in F_n$}\\ 0 & \textrm{se $x \not \in S$} \end{array} \right. $
E questo dovrebbe funzionare!
Sperem... Un po' di make up e lo posto.
P.S.: Ovviamente ho risposto solamente perchè non vi dimentichiate dei nanetti... Adesso vado a lavarmi le mani che con questa analisi me le sento un pochino sporche
Edit: mi sono finalmente ricordato di sostituire $ ~n $ con $ ~\frac{1}{n} $ come giustamente osservato da NonnoBassotto
Sappiamo che $ ~S=\cup_{n=1}^\infty F_n $ con $ ~F_n $ chiuso per ogni $ ~n $.
Io ho provato a fare una roba del genere... L'unica funzione onesta che mi veniva in mente che fosse discontinua massicciamente era Dirichlet. Ma questa non va bene (fosse altro perchè è definita su tutto $ ~\mathbb{R} $).
Putroppo non va bene nemmeno la sua restrizione ad $ ~S $ (nel senso che la moltiplico l'indicatrice di $ ~S $).
Quello che voglio fare è mimare Dirichlet su ogni $ ~F_n $ e fare anche in modo che la sovrapposizione di questi non mi renda la funzione continua.
Quindi il valore che ha sui razionali e sugli irrazionali deve in qualche modo essere influenzato dal chiuso in cui si trovano.
In più, poichè vorrei farla valere un valore costante (diciamo $ ~0 $) al di fuori di $ ~S $ vorrei evitarmi problemi stupidi e quindi non farla valere mai $ ~0 $ su $ ~S $, anzi vorrei tenermici lontano...
La cosa migliore è tenere il tutto più sparpagliato possibile. Quindi preso un chiuso $ ~F_n $ definiamo la funzione $ ~f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ come:
$ ~f_n(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{n} & \textrm{se $~x$ è razionale}\\ -\frac{1}{n} & \textrm{se $~x$ è irrazionale}\\ 0 & \textrm{se $~x \not \in F_n$} \end{array} \right. $
Ovviamente questa roba non è continua su $ ~F_n $ per densità (e solamente lì). Infatti se $ ~x \in F_n $ è razionale (irrazionale), se non è isolato (nella topologia indotta $ ~F_n $) ogni intorno contiene un irrazionale (razionale). Se $ ~x $ è isolato, banalmente la funzione è discontinua.
Dove ho usato il fatto che $ ~F_n $ fosse chiuso? Non l'ho usato... Però mi serve adesso per dire che non è discontinua altrove. Infatti ovviamente è continua sui punti appartenti alla parte interna di $ ~{F_n}^c $. Ma se $ ~F_n $ è chiuso il suo complementare è aperto e coincide quindi con la sua parte interna.
Ok fatto tutto questo schifo, rimonto insieme tutto. Rimonto come? Devo stare attento perchè un elemento può stare in chiusi diversi. In tal caso mi toccherà sceglierne uno! Come? In teoria pure a caso, però dato che una funzione di scelta cel'ho pronta (il minimo) la uso!
La funzione che cerco (forse sarebbe meglio dire una delle funzioni che mi vanno bene) dovrebbe quindi essere:
$ ~f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} f_n(x) & \textrm{se $~n$ è il più piccolo naturale t.c. $~x \in F_n$}\\ 0 & \textrm{se $x \not \in S$} \end{array} \right. $
E questo dovrebbe funzionare!
Sperem... Un po' di make up e lo posto.
P.S.: Ovviamente ho risposto solamente perchè non vi dimentichiate dei nanetti... Adesso vado a lavarmi le mani che con questa analisi me le sento un pochino sporche
Edit: mi sono finalmente ricordato di sostituire $ ~n $ con $ ~\frac{1}{n} $ come giustamente osservato da NonnoBassotto
Ultima modifica di moebius il 25 ott 2007, 11:50, modificato 1 volta in totale.
Fondatore: [url=http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/viewtopic.php?t=8899]Associazione non dimenticatevi dei nanetti![/url]
Membro: Club Nostalgici
Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
Membro: Club Nostalgici
Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
- Nonno Bassotto
- Site Admin
- Messaggi: 970
- Iscritto il: 14 mag 2006, 17:51
- Località: Paris
- Contatta:
Uhm, temo che non sia necessariamente continua fuori da S. Ad esempio prendi
$ \, F_n = [1/n,1] \, $. La funzione che ottieni è discontinua in 0, che non è un punto di S. Però se cambi n in 1/n direi che funziona.
$ \, F_n = [1/n,1] \, $. La funzione che ottieni è discontinua in 0, che non è un punto di S. Però se cambi n in 1/n direi che funziona.
The best argument against democracy is a five-minute conversation with the average voter. - Winston Churchill
Uff... è vero!
Però con 1/n dovrebbe andare... in effetti non avevo pensato che ci potevano essere dei problemi ad allontanarsi troppo dallo 0...
Però con 1/n dovrebbe andare... in effetti non avevo pensato che ci potevano essere dei problemi ad allontanarsi troppo dallo 0...
Fondatore: [url=http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/viewtopic.php?t=8899]Associazione non dimenticatevi dei nanetti![/url]
Membro: Club Nostalgici
Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
Membro: Club Nostalgici
Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...