Beh, visto che nessuno risponde propongo al vaglio la mia dimostrazione... che poi quando tocco 'sti argomenti che non conosco so benissimo che ho un gran rischio di dire cazzate.
La tesi che tento di dimostrare è: un chiuso C (dei reali) è unione disgiunta di un insieme perfetto e di un insieme numerabile di punti.
Lemma 1: Sia X l'insieme dei sottoinsiemi perfetti di C. Allora, dato un insieme di elementi di X, la chiusura della loro unione appartiene a X.
1 - questa chiusura è un sottoinsieme di C. Sì, perchè quei perfetti erano sottoinsiemi di C, quindi anche la loro unione lo è, quindi anche la sua chiusura.
2 - questa chiusura è un insieme perfetto. Che è un chiuso, siamo d'accordo. Supponiamo che esista un punto isolato della chiusura. Allora questo non appartiene all'unione dei perfetti di X considerati, altrimenti apparterrebbe ad almeno uno di questi e sarebbe punto di accumulazione. Ora, se togliamo questo punto isolato dalla chiusura, quello che resta è ancora un chiuso che contiene l'unione degli elementi di X considerati... ma allora quella non era la chiusura!!
A che serve il lemma 1? Ad applicare un altro lemma... quello di Zorn. Ordiniamo i sottoinsiemi perfetti di C per inclusione. Ogni catena ha un maggiorante (per il lemma 1), quindi esiste un elemento massimale. Esiste un sottoinsieme perfetto di C che non è contenuto propriamente in nessun sottoinsieme perfetto di C.
Che succede se togliamo questo grande insieme perfetto? Quello che resta non ha sottoinsiemi perfetti!!
Quindi, per dimostrare che "ogni chiuso è unione disgiunta di un insieme perfetto e un insieme numerabile" basta dimostrare che "un chiuso senza sottoinsiemi perfetti è numerabile", e ora cerco di fare questo.
Per fare questo... uso i numeri ordinali. Vedo di associare ad ogni punto dell'insieme un ordinale, in questo modo:
- ai punti isolati associo 1
- tolti i punti 1, a quelli che restano isolati associo 2
- e così via per ogni naturale.
- a quelli che restano dopo aver tolto i naturali, se sono isolati gli associo omega
e così via, più o meno.
Vediamo un po' di costruirla, sta funzione f.. Wikipedia ->
http://en.wikipedia.org/wiki/Transfinite_induction mi sembra consigliare, per costruire sta funzione, una roba che si chiama "ricorsione transfinita"
Cioè:
- l'insieme degli elementi di C a cui associo l'ordinale 0 è l'insieme vuoto
- se voglio trovare gli elementi di C a cui associo un ordinale w, prima tolgo da C gli elementi a cui ho già associato un ordinale minore di w, di questo insieme che rimane, a tutti i punti isolati associo w.
Qua è proprio importante l'ipotesi che C non abbia sottoinsiemi perfetti. Sto cercando i punti-w, sia F ciò che rimane di C dopo aver tolto i punti a cui associo un ordinale minore di w. Se F non ha punti isolati, ci sono due possibilità:
- F è chiuso. Allora F è perfetto, ma F è un sottoinsieme di C e quindi è assurdo.
- F è aperto. Allora esiste un punto P di C\F in cui si accumulano i punti di F. Sia v l'ordinale associato a P, con v<w. Se P ha l'ordinale v, vuol dire che quando ho tolto da C tutti i punti con ordinale <v, P era isolato. Ma tolti i punti con ordinale <v>v, quindi almeno quelli di F, che si accumulano in P, che dovrebbe essere isolato... assurdo.
Ora che ho costruito questa funzione, dimostro che ad ogni punto associo un ordinale _numerabile_. Per come ho fatto la costruzione, per garantire l'esistenza di un punto con ordinale x, ci sono già punti con ogni ordinale minore di x. Quindi, se c'è un ordinale non numerabile, c'è un punto P il cui ordinale è l'insieme degli ordinali numerabili.
Considero solo l'insieme dei punti di C con ordinale numerabile (chiamiamolo D). Considero una successione di intervalli che convergono a P. Siccome un'unione numerabile di ordinali numerabili è ancora un ordinale numerabile, ci deve essere uno di questi intervalli tale che, se da questo gli tolgo quello più piccolo, resta un pezzo con tutti gli ordinali numerabili.
Questa parte è più chiara se invertiamo in P e i punti che si accumulavano in P vanno verso l'infinito, allora spezzando in intervalli che hanno per estremi interi consecutivi, dimostro che ne esistono alcuni che (intersecati a D, chiaramente) contengono tutti gli ordinali numerabili. Anzi, questi intervallini si accumulano verso l'infinito. In ciascuno di questi intervallini, posso applicare un procedimento simile alla dimostrazione del teorema di bolzano-weierstrass, dimostro che in ciascuno di questi intervallini esiste un punto tale che in ogni suo intorno ci sono tutti gli ordinali numerabili. Ma essendo C chiuso, questo è un punto di C. Quindi il suo ordinale è più che numerabile. Ma quindi c'è una successione di punti con ordinale più che numerabile che si accumula nel punto P... che dovrebbe avere un ordinale almeno maggiore dell'insieme degli ordinali numerabili.
(che casino)
Allo stesso modo, dimostro che esiste un ordinale numerabile x tale che per ogni P in C, abbiamo f(P) < x. Perchè se così non fosse, in C ci sono tutti gli ordinali numerabili,che si accumulerebbero in un punto... che avrebbe ordinale non numerabile.
Ma questo è assurdo per quello che abbiamo dimostrato prima.
Ora _finalmente_ è quasi finita.
Punto 1: se considero tutti i punti che hanno un ordinale w, questi sono numerabili.
Dimostrazione: è un insieme di punti isolati (in R). Quindi se ad ogni razionale associo il punto dell'insieme più vicino alla sua destra, e poi magari quello alla sua sinistra giusto per sicurezza, ottengo una funzione suriettiva da 2Q nel mio insieme... qed.
Punto 2: considero l'insieme degli ordinali raggiunti (l'immagine della f). Questo è un insieme numerabile (perchè non sono tutti i numerabili, quindi la loro unione è ancora un ordinale numerabile).
Punto 3: quindi C è unione numerabile di insiemi numerabili ed è finita!
Ora faccio giusto uno schemino della dimostrazione per chiarificarmi le idee:
- usando il lemma di Zorn, dimostro che c'è un insieme perfetto "massimale"; il claim iniziale è equivalente alla tesi "un chiuso senza sottoinsiemi perfetti è numerabile"
- creo una funzione f che associa ad ogni punto dell'insieme un ordinale, in modo che se una successione di ordinali converge ad un punto (è evidente che ho sempre confuso i punti di C con gli ordinali che gli associo), l'ordinale di quel punto è l'ordinale limite o successore di quella successione.
- se la f becca un ordinale non numerabile, becca anche il più piccolo ordinale non numerabile, f(P). Usando il fatto che unione numerabile di ordinali numerabili è numerabile, trovo degli intervallini disgiunti che si accumulano in P. Usando lo stesso fatto, vedo che c'è un ordinale non numerabile in ogni intervallino. Quindi f(P) non può essere il più piccolo ordinale non numerabile.
- se la f becca tutti gli ordinali numerabili, allora vedo che becca anche un ordinale non numerabile ma questo è assurdo.
- l'insieme degli ordinali raggiunti è quindi numerabile. Per ogni ordinale raggiunto, l'insieme dei punti con questo ordinale non ha punti di accumulazione interni ad esso. Quindi è numerabile.
- Quindi C è unione numerabile di insiemi numerabili ed è numerabili.
Ora, se qualche buon'anima ha letto tutto il post /o almeno una parte, potrebbe cominciare ad elencare gli erroracci, a cui cercherò di mettere una pezza perchè l'idea di "organizzare i punti seguendo gli ordinali" mi piace e voglio salvarla in questo modo.
P.S. non guardate l'ora del post che mi vergogno, ciao ciao
