Disuguaglianza con abc=1

[Simo_the_wolf]

Siano $ a,b,c $ reali positivi tali che $ abc=1 $. Dimostrare che:

$ (a+b)(b+c)(c+a) \geq 4(a+b+c-1) $.

[darkcrystal]

Dunque... siano s=a+b+c, q=ab+bc+ca.
Si nota che $ qs=LHS+abc $. Riscriviamo la tesi come $ \frac{LHS+1}{s} \geq \frac{4(s-1)+1}{s} $, cioè $ q \geq \frac{4s-3}{s} $.
Riscriviamo ancora come $ q + \frac{3}{s} \geq 4 $, ossia, prendendo la terna $ (x=ab,y=bc,z=ca) $, $ 3AM + HM \geq 4 $
Ora (a parte il fatto che mi sembra di aver già visto questa disuguaglianza, ma non me la ricordavo ) applichiamo AM-GM su quest'ultima ottenendo $ 3AM + HM \geq 4\sqrt[4]{AM^3HM} \geq 4 $, ossia, $ AM^3 \cdot HM \geq 1 $ (tenendo conto che si ha ancora $ xyz=1 $)
Abbiamo ora $ (\frac{x+y+z}{3})^3 \cdot \frac{3}{1/x+1/y+1/z} \geq 1 $ che diventa $ (x+y+z)^3 \geq 9(xy+yz+zx) $, che viene per AM-GM sviluppando il membro sinistro.
Infatti si ha: $ LHS = \sum_{cyc}x^3 + 3\sum_{sym}x^2y + 6xyz \geq 3\sum_{sym}x^2y + 9xyz $.
E da quest'ultima, per AM-GM: $ x^2y+x^2y+x^2y+xy^2+xy^2+xy^2+xyz+xyz+xyz \geq 9 xy $ e cicliche.

Ciao!