$ \displaystyle 5^{2007}! $
Good work!
5^2007!
-
darkcrystal
- Messaggi: 706
- Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
- Località: Chiavari
L'idea dovrebbe essere questa... i dettagli sono abbastanza facili.
Se n è il numero in questione, e k è tale che $ 5^k || n=5^{2007}! $, quello che ci interessa è $ \displaystyle \frac{n}{10^k} \pmod {10} $.
Quest'ultima quantità ovviamente è ancora pari (perchè ci sono più fattori 2 che 5 in n...), quindi dobbiamo calcolarne la congruenza mod 5.
Ci si convince abbastanza facilmente che $ n/5^k \equiv -1 \pmod 5 $, e per ottenere quello che ci serve ci basta moltiplicare per l'inverso modulo 5 di $ 2^k $. Poichè k - anche qui, sono conti - è congruo a 3 modulo 4, l'inverso è 2, perciò la congruenza che ci interessa risulta essere -2.
Ora, la cifra pari congrua a -2 mod 5 è 8, quindi l'ultima cifra non nulla dovrebbe essere proprio 8.
Se n è il numero in questione, e k è tale che $ 5^k || n=5^{2007}! $, quello che ci interessa è $ \displaystyle \frac{n}{10^k} \pmod {10} $.
Quest'ultima quantità ovviamente è ancora pari (perchè ci sono più fattori 2 che 5 in n...), quindi dobbiamo calcolarne la congruenza mod 5.
Ci si convince abbastanza facilmente che $ n/5^k \equiv -1 \pmod 5 $, e per ottenere quello che ci serve ci basta moltiplicare per l'inverso modulo 5 di $ 2^k $. Poichè k - anche qui, sono conti - è congruo a 3 modulo 4, l'inverso è 2, perciò la congruenza che ci interessa risulta essere -2.
Ora, la cifra pari congrua a -2 mod 5 è 8, quindi l'ultima cifra non nulla dovrebbe essere proprio 8.
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
Membro dell'EATO