numero particolare
numero particolare
"Qual è il più piccolo numero intero positivo che sia uguale a 4 volte il prodotto delle sue cifre?".Non dovrebbe essere molto difficile dato che l'ho risolto anche io però mi interessa il metodo di risoluzione perchè il mio non mi piace affatto
Escludiamo che il numero sia 0 che non è strettamente positivo: ne consegue che nessuna cifra può essere 0 perché questo sarebbe anche il valore del loro prodotto. Escludiamo anche i numeri di una sola cifra, che dovrebbero essere uguali al loro quadruplo.
Numeri di due cifre
Deve essere $ 10a+b=4ab $, da cui $ \displaystyle a=\frac b {2(2b-5)} $ . Poiché tutto il resto è positivo, deve esserlo anche il numeratore, quindi $ b > \frac 5 2 $. Imponendo poi $ a \ge 1 $ si ottiene $ b \le \frac{10}3 $. L’unico intero che soddisfa queste limitazioni è b=3 che però va scartato perché a non è intero.
Numeri di tre cifre
Deve essere $ 100a+10b+c=4abc $. Il numero deve essere divisibile per 4, quindi c deve essere pari e b deve essere pari se c è multiplo di 4, dispari altrimenti. Dalla formula ricaviamo
(*) $ \displaystyle a=\frac{10b+c}{4(bc-25)} $
e se ne deduce subito che deve essere bc>25. Esaminiamo ora i vari casi:
caso c=2: escluso perché b sarebbe maggiore di 9;
caso c=4: b deve essere pari e maggiore di $ \frac{25}4 $ , quindi b=8. Sostituendo nella (*) si ottiene a=3 e quindi il numero 384;
caso c=6: b deve essere dispari e maggiore di $ \frac{25}6 $ , quindi può valere 5 o 7; entrambi vanno scartati perché la (*) non dà valori interi;
caso c=8: b deve essere pari e maggiore di $ \frac{25}8 $ , quindi può valere 4, 6 o 8 che vanno tutti scartati per la (*).
Quindi l’unica risposta a tre cifre è 384.
Non è certo una soluzione elegantissima; se la tua è migliore, mandala
Numeri di due cifre
Deve essere $ 10a+b=4ab $, da cui $ \displaystyle a=\frac b {2(2b-5)} $ . Poiché tutto il resto è positivo, deve esserlo anche il numeratore, quindi $ b > \frac 5 2 $. Imponendo poi $ a \ge 1 $ si ottiene $ b \le \frac{10}3 $. L’unico intero che soddisfa queste limitazioni è b=3 che però va scartato perché a non è intero.
Numeri di tre cifre
Deve essere $ 100a+10b+c=4abc $. Il numero deve essere divisibile per 4, quindi c deve essere pari e b deve essere pari se c è multiplo di 4, dispari altrimenti. Dalla formula ricaviamo
(*) $ \displaystyle a=\frac{10b+c}{4(bc-25)} $
e se ne deduce subito che deve essere bc>25. Esaminiamo ora i vari casi:
caso c=2: escluso perché b sarebbe maggiore di 9;
caso c=4: b deve essere pari e maggiore di $ \frac{25}4 $ , quindi b=8. Sostituendo nella (*) si ottiene a=3 e quindi il numero 384;
caso c=6: b deve essere dispari e maggiore di $ \frac{25}6 $ , quindi può valere 5 o 7; entrambi vanno scartati perché la (*) non dà valori interi;
caso c=8: b deve essere pari e maggiore di $ \frac{25}8 $ , quindi può valere 4, 6 o 8 che vanno tutti scartati per la (*).
Quindi l’unica risposta a tre cifre è 384.
Non è certo una soluzione elegantissima; se la tua è migliore, mandala
Il problema sta proprio qua perchè anche la mia soluzione (ovviamente il numero trovato è quello giusto!!!) è molto simile alla tua ma appena l'ho fatta mi è venuto il dubbio di cosa sarebbe successo se il più piccolo numero con questa caratteristica fosse stato di n cifre con n ovviamente molto più grande di 3. Va be' aspettiamo se arriva qualcuno a illuminarci 