Area, e ricoprire i punti interi

[edriv]

Un insieme del piano ha area maggiore di n.
Dimostrare che possiamo spostarlo in modo che ricopra almeno n+1 punti a coordinate intere.

Good work!

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

mah, in poche parole per il teorema di pick si ha che l'aria di un poligono è
$ A = I + \frac{B}{2} - 1 $
dove I sono i punti inrterni al poligono a coordinate intere e B i punti contenuti nel bordo (vertici compresi)

quindi se $ A>n $ e $ I \ge n+1 $

nel caso limite si ha che

$ n = n+1 +\frac{B}{2} - 1 $ ------> per $ B = 0 $ va bene.

In sostanza se lo trasliamo in modo che sul suo perimetro non ci siano punti a coordinate intere il gioco è fatto, ma forse do' per scontato che è sempre possibile farlo?

[edriv]

non solo, ma soprattutto dai per scontato che la figura sia un poligono...

[MindFlyer]

Ulteriore aggravante: tra le ipotesi del teorema di Pick c'è che il poligono abbia tutti i vertici a coordinate intere.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Si certo hai ragione non ho tenuto conto che non potesse essere un poligono
comunque il teorema di pick si può utilizzare anche con punti a coordinate razionali, basta una omotetia di parametro il minimo comune multiplo delle coordinate di centro nell'origine che mi manda i vertici in punti a coordinate intere, poi uso il teorema di pick per trovare l'area di quel poligono e la divido per il parametro al quadrato. Quindi volendo con omotetie e traslazioni mi ricollego sempre a il caso di coordinate intere.

edit: si ok abbiamo capito che ho cannato la dimostrazione...

[edriv]

Tanto per curiosità, qual è il minimo comune multiplo tra $ ~ \pi $ e $ ~ \sqrt{3} $ secondo la tua definzione?

(spingendola molto, puoi andare arbitrariamente vicino a vertici a corrdinate intere... poi boh)

[salva90]

intendeva coi punti a coordinate razionali... non è buono a fare geometria...
e poi quel discorso lì te l'abbiamo spiegato stamane io e il pigkappa, caro gabriel

[MindFlyer]

C'è un altro problema: ammesso che l'omotetia esista, manda i punti a coordinate intere del poligono originale in punti che a priori non hanno coordinate intere, e viceversa! Com'è possibile portare l'informazione sui punti interni a coordinate intere (perché sono questi che ci ineteressano!) attraverso l'omotetia?

[salva90]

C'è un altro problema: ammesso che l'omotetia esista, manda i punti a coordinate intere del poligono originale in punti che a priori non hanno coordinate intere, e viceversa! Com'è possibile portare l'informazione sui punti interni a coordinate intere (perché sono questi che ci ineteressano!) attraverso l'omotetia?

ti spiego, stamane io e pigkappa abbiamo spiegato a gabriel la conseguenza del teorema di pick esposta sulle schede olimpiche (cioè che se un poligono ha vertici a coordinate razionali allora ha l'area razionale), e allora lui ha sentito qualcosa di geom che non sapeva e tenta di applicarlo a qualsiasi cosa... dovete capirlo è un caso umano... abbiate pietà di lui

[chiedo scusa all'autore del thread per il notevole OT]

[Katerina89]

non solo, ma soprattutto dai per scontato che la figura sia un poligono...

scusa eh e' erdive... sono un po' ingorantina... eh...

ma che cos'e' l'are di un'insieme del piano?

io so fare solo l'area dei poligoni, e anche delle circonferenze e di poco altro )

cia' e' raga!

[edriv]

Vabeh, per non andare sul tecnico si supponeva implicitamente che sia un insieme misurabile.
Se vogliamo andare sul formale invece, si suppone che l'insieme sia misurabile, e che la sua area la calcoliamo con la Misura di Lebesgue

Però è molto meglio risolvere il problema trattando abbastanza intuitivamente il concetto di area. (ad esempio sapere che è invariante per traslazione, che l'area dell'unione disgiunta di due insiemi è la somma delle loro aree) Ciao kate!

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Adesso basta salva la smetti di rompere? la storia dell'omotetia e della ricreazione è una baggianata (apparte che non sai nemmeno come si usano le omotetie), ti conviene non scrivere in posti che non ti competono solo per sfottere gli altri e per creare casino...

Mind ho capito che con nel problema il teorema di pick non funziona...

[MindFlyer]

Dai dai, basta flame. Cerchiamo di risolvere il problema.

[Nonno Bassotto]

Una possibile soluzione (non elementare) modulo qualche verifica che devo fare.

Intanto parametrizzo i moti rigidi del piano. Ogni moto rigido è composizione di una rotazione e di una traslazione, e mi interessano solo le traslazioni per vettori in [0,1]x[0,1], tanto il numero di punti interi si ripete quanto traslo di più di 1.

Dato un punto x=(a,b,c) in [0,1]x[0,1]x[0,2pi] indico A(x) la rotazione di angolo c composta con la traslazione di vettore (a,b). Definisco una misura n su R^2 nel modo seguente. Chiamo m la misura che conta i punti interi e faccio la media dei push-forward di m tramite A(x). In parole povere

$ n(T) = \frac{1}{2\pi}\int_{x \in [0,1]\times [0,1] \times [0,2\pi]} \# (A(x)T \cap \mathbb{Z}^2) $

Verifica 1: n è una misura regolare.

Noto questo, osservo che per costruzione n è una misura invariante per rotazioni e traslazioni. Dunque è un multiplo della misura di Lebesgue.

Verifica 2: n(quadrato di lato 1) = 1

Questa verifica ci dice che n coincide con la misura l di Lebesgue.

Sia ora T il nostro insieme con l(t)>n. Ne segue che n(T)>n. Poiché n è la media di tante misure m', per almeno una di queste si ha m'(t)>n. Ma m'(T) è il numero di punti interi in un trasfomato di T, dunque questo numero, essendo intero, vale almeno n+1.

Ho dovuto usare almeno una formula LaTeX, spero di non rovinare nulla a nessuno, non credo che da quella si capisca la soluzione.

[Katerina89]

Vabeh, per non andare sul tecnico si supponeva implicitamente che sia un insieme misurabile.
Se vogliamo andare sul formale invece, si suppone che l'insieme sia misurabile, e che la sua area la calcoliamo con la Misura di Lebesgue

Però è molto meglio risolvere il problema trattando abbastanza intuitivamente il concetto di area. (ad esempio sapere che è invariante per traslazione, che l'area dell'unione disgiunta di due insiemi è la somma delle loro aree) Ciao kate!

ma sei porpio sicuro sicuro di non aver fatto male a cancellare la parola limitato che c'era nel tuo posto prima che la canellasi quando l'ai cancellata (altrimenti ci sarebbe ancora, ma non c'e', segno che e' cancellata eh)

perche' io porpio non vedo come usare quei concetti intuitivi se l'insieme e' grande grande...

eppoi penso che si riesca a dare una definizione di area che fa le cose intuitive che hai detto tu eh,,,,,,,, volendo propio per tutti gl'insiemi non solo per quelli la' che dice wikipedia... ma pero' questa cosa forse non viene univoca nel senso che esiste piu' di un concetto di area che fa quelle cose e funziona per tutti gli insiemi.... boh! e' complicato!!!!!!

Perche' non diciamo che quella cosa e' un'unione finita di poligoni e tagliamo la testa al toro?

cia' eh!!!