n uomini e m donne vanno devono entrare in una stanza facendo in modo che ogni volta che una persona vi entra il numero di uomini dentro alla stanza sia minore strettamente del numero di donne dentro alla stanza.
In quanti modi possibili possono entrarvi (supponendo tutti uguali gli uomini e tutte uguali le donne)?
Supponendo infiniti m e n, in quanti modi possibili possono entrarvi k persone?
La stanza
Visto che nn ha riscosso particolare successo quest'esercizio, per incentivarvi a risolverlo posto il risultato a cui ero arrivato per la seconda parte,anche se nn è totalmente motivato:
supponendo infiniti m e n, i modi possibili secondo cui possono entrarvi k persone definiscono la successione per ricorrenza
$ ~ a_1 = 1 $
$ ~ a_{2n} = {2n-1\choose n} $
$ ~ a_{2n+1} = 2a_{2n} $
Questo perchè quando la k-esima persona che sta per entrare è la (2n+1)-esima, il numero di persone già dentro è pari, e quindi ci sono almeno due donne in più degli uomini,per cui si presentano due possibilità (uomo o donna) per ognuno dei modi in cui potevano entrare le 2n persone precedenti.
Quando la k-esima persona che deve entrarci è la 2n-esima, invece sono arrivato a determinare con un ragionamento sbagliato la formula giusta (l'ho verificato "sperimentalmente").
Completate almeno questo!
supponendo infiniti m e n, i modi possibili secondo cui possono entrarvi k persone definiscono la successione per ricorrenza
$ ~ a_1 = 1 $
$ ~ a_{2n} = {2n-1\choose n} $
$ ~ a_{2n+1} = 2a_{2n} $
Questo perchè quando la k-esima persona che sta per entrare è la (2n+1)-esima, il numero di persone già dentro è pari, e quindi ci sono almeno due donne in più degli uomini,per cui si presentano due possibilità (uomo o donna) per ognuno dei modi in cui potevano entrare le 2n persone precedenti.
Quando la k-esima persona che deve entrarci è la 2n-esima, invece sono arrivato a determinare con un ragionamento sbagliato la formula giusta (l'ho verificato "sperimentalmente").
Completate almeno questo!