piccola diofantea

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Trovare il valore positivo di n per cui

$ n^5 = 133^5 + 110^5 + 84^5 + 27^5 $

ovviamente non è consentito fare il calcolo con la calcolatrice, poi se volete farlo a mano fate voi

[darkcrystal]

Io odio i numeri grandi (chissà cosa sono, poi...)

2^6 e 3^6 dividono RHS (la tecnica è uguale... il termine 84^5 vale 0 modulo 2^6, poi si sommano 133^5+27^5=(133+27)(...) \equiv 2^5 \pmod 2^6 a cui si aggiunge 110^5 \equiv 32 \pmod 2^6, totale 0 \pmod 2^6)
Perciò almeno 2^10 e 3^10 dividono RHS (poichè gli esponenti di tutti i primi sono multipli di 5), e dunque 36|n. Rimane da considerare quale multiplo di 36 ci va bene.
Sia n=36k. Se k è minore di 4, n è minore di 133, assurdo.
Se k=5, allora 5 divide RHS, falso.
Se k è maggiore o uguale a 6, allora 2^15*3^15<=(36k)^5=RHS<4*133^5 che è un po' falso, perciò (supponendo che la soluzione esista) deve essere k=4, n=144. Dimostrare che funzioni... bah, esistono le calcolatrici...

Ciao!

P.S. L'ho dovuto modificare un po' di volte perchè tagliava il messaggio...

[HiTLeuLeR]

Trovare il valore positivo di n per cui $ n^5 = 133^5 + 110^5 + 84^5 + 27^5 $ ovviamente non è consentito fare il calcolo con la calcolatrice, poi se volete farlo a mano fate voi

Dal piccolo teorema di Fermat: $ n \equiv 133 + 84 + 27 \equiv 4 \bmod 5 $. D'altro canto, è evidente che $ n $ è divisibile per $ 18 $. Pertanto $ n = 90k + 54 $, per qualche $ k \in \mathbb{N} $. Senonché $ \displaystyle 133 < n \le \frac{133 + 110 + 84 + 27}{2^{8/5}} < 177 $, per la disuguaglianza generale fra le medie. Dunque $ k = 1 $ ed $ n = 144 $.