n=a^2+b^2: come sono distribuiti?

[piever]

Diciamo che un numero naturale e' bello se e' rappresentabile come somma di 2 quadrati perfetti (0 e' considerato un quadrato perfetto)

1) Sia una terna bella un insieme composto da tre naturali belli consecutivi.

Quante terne belle esistono?


2) Dimostrare che, per ogni n intero positivo, esiste un naturale bello m tale che:

$ n\leq m\leq n+2\sqrt{2\sqrt{n}} $

buon lavoro

[EvaristeG]

(0 e' considerato un quadrato perfetto)

Chissà che faccia farà quando glielo dirò (allo zero, dico) ... erano anni che aspettava un riconoscimento ufficiale.

[darkcrystal]

Una intuizione serale dettata più dal sonno che dal buon senso mi dice che ce ne sono infinite... (datemi per buono che il prodotto di due somme di quadrati è una somma di quadrati)
Consideriamo le terne $ 3^{2^k}-1,3^{2^k},3^{2^k}+1, k \in \mathbb{N^+} $. Gli ultimi due valori sono ovviamente un quadrato perfetto (+0) e un quadrato perfetto più uno, quindi per quelli siamo a posto. Per il primo facciamo un'induzione su k, con il solito giochetto di scomporre $ 3^{2^k}-1=(3^{2^{k-1}}-1)(3^{2^{k-1}}+1) $. Il primo pezzo è una somma di quadrati per ipotesi induttiva, il secondo anche perchè è un quadrato più uno. Quindi per il fatto noto anche $ 3^{2^k}-1 $ è una somma di quadrati.
In quanto al caso base, 8=4+4=2^2+2^2 (nel caso... visti i pignoli che frequentano questo forum )
Ciao!

[piever]

(0 e' considerato un quadrato perfetto)

Chissà che faccia farà quando glielo dirò (allo zero, dico) ... erano anni che aspettava un riconoscimento ufficiale.

lol

vabbeh, diciamo che 0 non e' piu' un quadrato perfetto (ho cambiato idea).

Ci sono ancora infinite terne?

@ darkcrystal: ok, bella soluzione. Ce n'e' un'altra molto meno elegante, se vuoi divertirti a trovarla....

Il fatto della chiusura rispetto alla moltiplicazione lo ha dimostrato Elia al wc e Bobo non ha obiettato, quindi si da' per vero.

[jordan]

Diciamo che un numero naturale e' bello se e' rappresentabile come somma di 2 quadrati perfetti (0 e' considerato un quadrato perfetto)

1) Sia una terna bella un insieme composto da tre naturali belli consecutivi.

Quante terne belle esistono?

E' sufficiente mostrare che esistono infiniti interi positivi x per cui x²-1=y²+z² ha soluzione in Z³ (infatti, fissato x, ne ha al più un numero finito in (y,z)). E' di nuovo sufficiente porre y=z, per cui abbiamo bisogno di mostrare che x²=2y²+1 ha infinite soluzioni in Z², che è una equazione di Pell.
Riguardo la soluzione di Boll, che abbia usato il fatto che un numero positivo è esprimibile come somma di due quadrati se e solo se la valutazione p-adica è pari per ogni primo p tale che 4|p+1?
Un thread collegato qui.

[jordan]

Diciamo che un numero naturale e' bellissimo se e' rappresentabile come somma di 2 quadrati perfetti non nulli

1) Sia una terna bellissima un insieme composto da tre naturali bellissimi consecutivi.

Quante terne bellissime esistono?

$ n=(k^2+k)^2+(k^2+k)^2 $
$ n+1=(k^2-1)^2+(k^2+2k)^2 $
$ n+2=(k^2+k+1)^2+(k^2+k-1)^2 $

[Tibor Gallai]

$ n+1=(k^2+1)^2+(k^2+2k)^2 $

$ n+1=(k^2-1)^2+(k^2+2k)^2 $

[kn]

... lo ha dimostrato Elia al wc ...

Wow! Riuscite a fare matematica persino lì!

[FeddyStra]

$ n=(k^2+k)^2+(k^2+k)^2 $
$ n+1=(k^2-1)^2+(k^2+2k)^2 $
$ n+2=(k^2+k+1)^2+(k^2+k-1)^2 $

Potresti darci un'idea di come le hai trovate?

[jordan]

Certo, li volevo fare positivi no? Allora ho posto arbitrariamente il primo come somma di due quadrati uguali (i.e. $ a^2+a^2=n $). Adesso il caso n+2 è molto facile da aggiustare $ n+2=(a+1)^2+(a-1)^2 $. Fin qui non ci dovrebbero essere problemi. Dopodichè in pratica stiamo cercando degli a particolari tali che anche n+1 è somma di due quadrati non nulli. Allora, n delle forma $ 2a^2 $ quindi $ n+1=2a^2+1 $, quindi un +1 c'è sempre: ciò significa che nell'espressione dei due quadrati compare come termine noto esattamente un 1 con modulo 1. Ma aggiungendo un 1 dobbiamo aggiungere qualcosa da una parte e togliere qualcosa dall'altra, cioè $ 2a^2+1=(a+b+\epsilon)^2+(a-b)^2 $. Da qui non ci vuole molto a vede che $ a=b(b+1) $ e $ \epsilon=-1 $ funzionano (prima dell'edit avevo copiato per sbaglio un +1 come si vede dal quote di TiborGallai)..

[jordan]

2) Dimostrare che, per ogni n intero positivo, esiste un naturale bello m tale che: $ n\leq m\leq n+2\sqrt{2\sqrt{n}} $

Wow, dopo il centesimo tentativo ci sono riuscito
Sia $ x:=\lfloor \sqrt{n} \rfloor $,$ y:=n-x^2 \in \mathbb{Z} \cap [0,2\sqrt{n}] $, $ z:=\lfloor \sqrt{y} \rfloor $ e $ w:=n-x^2-z^2 $. Se $ w=0 $ allora è sufficiente scegliere $ m=n=x^2+z^2 $, altrimenti w>0 ed è sufficiente scegliere $ m=x^2+(z+1)^2 = (x^2+z^2+w)+(2z+1-w)= $ $ n+2z+(1-w) \le n+2z \le n+2\sqrt{y} \le n+2\sqrt{2\sqrt{n}} $.[]