Radice quadrata di un numero complesso

[gianmaria]

Sappiamo che per calcolare x, radice ennesima di a+ib, occorre dividere per n l’argomento, eccetera. Questo vale ovviamente anche per le radici quadrate; se però l’argomento non è un angolo speciale i calcoli sono un po’ laboriosi, per cui spesso si preferisce porre x=u+iv e risolvere il sistema ottenuto uguagliando le parti reale e immaginaria di $ (u+iv)^2=a+ib $. Sempre nel caso di radici quadrate, esiste però anche un altro metodo più rapido, di solito non citato a questo proposito: voi lo conoscete o sapreste scoprirlo?

[MdF]

Mah, la metà delle volte quando si opera sul piano (e i complessi lo sono) è ottimale lavorare con le coordinate polari. Non so perché ma di solito si semplifica quasi tutto, e chissà poi perché...

[gianmaria]

Per MdF:di solito con le coordinate polari le cose si semplificano perchè le si usa solo quando questo è prevedibile. Comunque la tua risposta indica solo una preferenza per il primo metodo da me indicato (se parlo di argomento, è evidente che uso coordinate polari), mentre io ho chiesto di trovarne un terzo.

[MdF]

Nel mio piccolo non avevo notato la sottigliezza del metodo polare da te citato. Istintivamente lo preferisco, sì: ma soprattutto, non conoscendone altri, non saprei che proporre. Mi viene in mente la formula di Eulero (quella che definisce l'esponenziale in campo complesso), ma dovrei mettermi a farci una notte di conti per capire se è fattibile.

[gianmaria]

Acqua, acqua... Cerca in campi più facili.

[MdF]

Uso una calcolatrice.
Oppure noleggio un matematico e lo pago un tanto all'ora, ci pensa lui. E se non ci pensa non lo pago.

[albert_K]

E se ci pensa lo paghi???!?!

[fph]

Cosa intendi per "rapido"?
1) che i conti a mano vengono più veloci
2) che un computer ci mette meno tempo
3) che i conti a mano si fanno a occhio per i numeri "belli" che si incontrano di solito
...?

[gianmaria]

Cosa intendi per "rapido"?

Intendo che, lavorando senza computer, basta applicare una nota formula per ottenere il risultato, anche se "brutto": si fanno meno calcoli che per risolvere un sistema o usando le formule di bisezione. Ehi, guardate che è l'uovo di Colombo!

[MindFlyer]

Intanto sposto, sta meglio nel Glossario.

[gianmaria]

Provo a dare un aiuto: la mia risposta inizia con "Poiché $ i=\sqrt{-1} $ … "; un altro aiuto l’ho già dato parlando di applicare una nota formula. Quest’ultima non è famosissima ma compare in tutti i testi che conosco (ovvio, della giusta materia e classe); qui richiede una piccola modifica, fattibile anche "a posteriori".
Mi viene un dubbio: forse il vostro silenzio è dovuto al fatto che ritenete questo quesito troppo facile e indegno di voi?

[MindFlyer]

Mi viene un dubbio: forse il vostro silenzio è dovuto al fatto che ritenete questo quesito troppo facile e indegno di voi?

No, io personalmente non ho capito cosa stai chiedendo.
Mi capita troppo spesso agli esami orali di dover rispondere a domande del tipo "cos'è questa cosa?" riferito a strutture matematiche varie. Ora, in questi casi dire la definizione non va bene, fare caratterizzazioni arbitrarie spesso non va bene, perché il professore ha in mente qualcosa di ben preciso e vuole sentirsi dire esattamente quello. Nota che secondo lui la domanda è ben posta, e la risposta spesso è di una banalità sconvolgente. Il fatto è che l'unico modo per dare la risposta "giusta" è entrare nella testa di chi fa la domanda e sapere cosa sta pensando, anche se tecnicamente sapresti rispondere alla perfezione.

[gianmaria]

L'obiezione di MindFlyer è giusta, ma proprio non saprei come porre la domanda in modo più chiaro. Forse la cosa più semplice è che io scriva la mia risposta; mi piacerebbe poi sapere se ci avevate pensato.
Poichè $ i=\sqrt{-1} $ siamo di fronte ad un radicale doppio e possiamo applicare l'apposita formula; dobbiamo però premettervi un segno $ \pm $perchè là volevamo la sola soluzione positiva, mentre qua le vogliamo tutte.
Esempio: calcolare $ x=\sqrt{-6+2i} $ . Soluzione: $ c^2=(-6)^2-(2i)^2=36+4=40 $ quindi $ c=2 \sqrt{10} $ . Ne segue $ x=\pm ( \sqrt \frac{-6+2 \sqrt{10}} 2+\sqrt{\frac {-6-2 \sqrt{10}} 2}) = \pm (\sqrt{-3+\sqrt{10}}+i \sqrt{3+\sqrt{10}}) $
Essendo sempre c>|a|, il primo radicando è positivo e il secondo negativo, quindi si separano bene le parti intera e immaginaria.

[EvaristeG]

ah, Warnings ... penso che non me lo ricorderò mai ...

[SkZ]

io ne sono certo che non riusciro' mai a ricordarmelo

qualcuno potrebbe postare la regola generale? ho provato a cercare Warnings in giro ma non trovo nulla