Provenienti dall'Halliday, il primo lo segna come difficile, il secondo no, ma non è banalissimo secondo me e mi ha fatto tribolare un po' di più. A me sono piaciuti tutti e due, spero che qualcuno provi a farli.
1)Su una regione sferica è presente una carica per unità di volume $ \displaystyle \rho $ uniforme. Sia $ \vec{r} $ il vettore posizione di un punto generico P interno alla sfera rispetto al centro.
A)Si dimostri che il campo elettrico in P è dato da $ \vec{E}=\frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0} $.
B)Viene ricavata una cavità sferica nella sfera sopraddetta, e sia $ \vec{a} $ il vettore posizione diretto dal centro della sfera al centro della cavità. Dimostrare che il campo elettrico in tutti i punti della cavità è $ \vec{E}=\frac{\rho \vec{a}}{3 \epsilon_0} $. (Suggerimento: principio di sovrapposizione).
2)Un contatore Geiger è costituito da un cilindro metallico avente raggio $ R_2=1,00 cm $, lungo il cui asse viene teso un filo avente raggio $ R_1=0,65 * 10^{-4} cm $. Tra il cilindro e il filo viene applicata una tensione $ \Delta V=850 V $. Determinare:
A)Il campo elettrico sulla superficie esterna del filo.
B)Il campo elettrico sulla superficie interna del cilindro.
Doppia elettrostatica
Re: Doppia elettrostatica
Premessa: E' molto probabile che io scriva cazzate...
$ $ \varepsilon_0\int E \,dS\,=\frac{4\pi}{3}r^3\rho $
ora una superfice sferica rispetto al centro della sfera, per simmetria, nelle nostre condizioni ha lo stesso campo in ogni punto, quindi possiamo portare $ E $ fuori dall'integrale
$ $ \varepsilon_0 E\int dS = \frac{4\pi}{3}r^3\rho $
ovvero
$ $\varepsilon_0 E*S=\frac{4\pi}{3}r^3\rho $
$ $\varepsilon_0 E*4 \pi r^2=\frac{4\pi}{3}r^3\rho $
$ $ E=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0} $
ho lesinato in freccettine solo per questioni di TeX, ma il tutto dovrebbe valere vettorialmente...
A) Per il teorema di Gauss applicato ad una superficie sferica di raggio $ r $ avremoPigkappa ha scritto: 1)Su una regione sferica è presente una carica per unità di volume $ \displaystyle \rho $ uniforme. Sia $ \vec{r} $ il vettore posizione di un punto generico P interno alla sfera rispetto al centro.
A)Si dimostri che il campo elettrico in P è dato da $ \vec{E}=\frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0} $.
B)Viene ricavata una cavità sferica nella sfera sopraddetta, e sia $ \vec{a} $ il vettore posizione diretto dal centro della sfera al centro della cavità. Dimostrare che il campo elettrico in tutti i punti della cavità è $ \vec{E}=\frac{\rho \vec{a}}{3 \epsilon_0} $. (Suggerimento: principio di sovrapposizione).
$ $ \varepsilon_0\int E \,dS\,=\frac{4\pi}{3}r^3\rho $
ora una superfice sferica rispetto al centro della sfera, per simmetria, nelle nostre condizioni ha lo stesso campo in ogni punto, quindi possiamo portare $ E $ fuori dall'integrale
$ $ \varepsilon_0 E\int dS = \frac{4\pi}{3}r^3\rho $
ovvero
$ $\varepsilon_0 E*S=\frac{4\pi}{3}r^3\rho $
$ $\varepsilon_0 E*4 \pi r^2=\frac{4\pi}{3}r^3\rho $
$ $ E=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0} $
ho lesinato in freccettine solo per questioni di TeX, ma il tutto dovrebbe valere vettorialmente...
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
.Posto le tracce delle mie soluzioni... Se volete fare gli esercizi provate prima senza leggerle.
1B)Sia P un punto della cavità. Il campo prodotto in P dalla sfera senza cavità è $ E_1=\frac{\vec{R} \rho}{3 \epsilon_0} $. Sia adesso $ \vec{d} $ il vettore che fa dal centro della cavità al punto P. Bisogna sottrarre al campo trovato prima quello che non c'è per la cavità; il campo generato dalla cavità era $ E_2=\frac{\vec{d}\rho}{3 \epsilon_0} $. Il campo risultante è allora $ E=E_1-E_2 $ e notando che $ \vec{R} - \vec{d} = \vec{a} $ abbiamo finito.
2)Questo ve lo lascio per un altro po'
1B)Sia P un punto della cavità. Il campo prodotto in P dalla sfera senza cavità è $ E_1=\frac{\vec{R} \rho}{3 \epsilon_0} $. Sia adesso $ \vec{d} $ il vettore che fa dal centro della cavità al punto P. Bisogna sottrarre al campo trovato prima quello che non c'è per la cavità; il campo generato dalla cavità era $ E_2=\frac{\vec{d}\rho}{3 \epsilon_0} $. Il campo risultante è allora $ E=E_1-E_2 $ e notando che $ \vec{R} - \vec{d} = \vec{a} $ abbiamo finito.
2)Questo ve lo lascio per un altro po'
Provo il 2) (anche se i l topic è un po' datato).
Dato che tra il cilindro ed il filo c'è un potenziale positivo, il cilindro è caricato positivamente ed il filo negativamente, quindi nel contatore c'è un campo elettrico radiale diretto verso il centro.
Applicando la legge di Gauss ad una superficie cilindrica di altezza h e raggio $ \displaystyle r \leq r_c $ (dove r_c è il raggio del cilindro e r_f il raggio del filo) si può verificare che
$ \displaystyle E = \frac{ \lambda }{2 \pi \epsilon_0 r} $
Calcolando poi il flusso elettrico attraverso una superficie gaussiana cilindrica di altezza h e raggio $ \displaystyle r > r_c $ si può verificare che, dato che
$ \displaystyle \Phi = \oint \overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{A} $ e che $ \displaystyle \Phi = 0 $ allora deve essere E = 0 all'esterno del cilindro metallico.
Ora, poiché $ \displaystyle V_f - V_i = - \int_i^f \overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{s} $, ponendo $ \displaystyle V_f - V_i = V_{CF} $, dove $ \displaystyle V_{CF} $ è il potenziale tra il cilindro ed il filo, f = r_C, i= r_F e $ \displaystyle d \overrightarrow{s} = d \overrightarrow{r} $, ottengo
$ \displaystyle V_{CF} = - \int_{r_F}^{r_C} \overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{r} = - \int_{r_F}^{r_C} E (\cos {\pi} ) dr = \int_{r_F}^{r_C} \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} dr $
$ \displaystyle V_{CF} = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 } \int_{r_F}^{r_C} \frac{1}{r} dr = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 } (\ln r_C - ln r_F) $
Da cui trovo $ \displaystyle \lambda = \frac{ V_{CF} 2 \pi \epsilon_0}{ \ln \frac{r_C}{r_F}} $
Ricordando che $ \displaystyle E = \frac{ \lambda }{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{ \frac{ V_{CF} 2 \pi \epsilon_0}{ \ln \frac{r_C}{r_F}} }{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{V_{CF}}{r \ln \frac{r_C}{r_F}} $
Ponendo r = r_C e r = r_F ottengo
$ \displaystyle E_C \approx 8,82 \frac{KV}{m} $
$ \displaystyle E_F \approx 136 \frac{MV}{m} $
Questi risultati coincidono con quelli del libro però se qualcuno mi desse un parere sulla soluzione ne sarei felice, in quanto non ne sono sicuro al 100%.
Startrek
P.S. Penso che il libro si contraddica, in quanto al problema 21P di pag 541 dove dice di guardare per sfruttarne il risultato (inutile) dice che le cariche positive stanno al centro ma in tal modo il potenziale tra il cilindro ed il filo sarebbe di -850 V. Non vi sembra?
Dato che tra il cilindro ed il filo c'è un potenziale positivo, il cilindro è caricato positivamente ed il filo negativamente, quindi nel contatore c'è un campo elettrico radiale diretto verso il centro.
Applicando la legge di Gauss ad una superficie cilindrica di altezza h e raggio $ \displaystyle r \leq r_c $ (dove r_c è il raggio del cilindro e r_f il raggio del filo) si può verificare che
$ \displaystyle E = \frac{ \lambda }{2 \pi \epsilon_0 r} $
Calcolando poi il flusso elettrico attraverso una superficie gaussiana cilindrica di altezza h e raggio $ \displaystyle r > r_c $ si può verificare che, dato che
$ \displaystyle \Phi = \oint \overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{A} $ e che $ \displaystyle \Phi = 0 $ allora deve essere E = 0 all'esterno del cilindro metallico.
Ora, poiché $ \displaystyle V_f - V_i = - \int_i^f \overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{s} $, ponendo $ \displaystyle V_f - V_i = V_{CF} $, dove $ \displaystyle V_{CF} $ è il potenziale tra il cilindro ed il filo, f = r_C, i= r_F e $ \displaystyle d \overrightarrow{s} = d \overrightarrow{r} $, ottengo
$ \displaystyle V_{CF} = - \int_{r_F}^{r_C} \overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{r} = - \int_{r_F}^{r_C} E (\cos {\pi} ) dr = \int_{r_F}^{r_C} \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} dr $
$ \displaystyle V_{CF} = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 } \int_{r_F}^{r_C} \frac{1}{r} dr = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 } (\ln r_C - ln r_F) $
Da cui trovo $ \displaystyle \lambda = \frac{ V_{CF} 2 \pi \epsilon_0}{ \ln \frac{r_C}{r_F}} $
Ricordando che $ \displaystyle E = \frac{ \lambda }{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{ \frac{ V_{CF} 2 \pi \epsilon_0}{ \ln \frac{r_C}{r_F}} }{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{V_{CF}}{r \ln \frac{r_C}{r_F}} $
Ponendo r = r_C e r = r_F ottengo
$ \displaystyle E_C \approx 8,82 \frac{KV}{m} $
$ \displaystyle E_F \approx 136 \frac{MV}{m} $
Questi risultati coincidono con quelli del libro però se qualcuno mi desse un parere sulla soluzione ne sarei felice, in quanto non ne sono sicuro al 100%.
Startrek
P.S. Penso che il libro si contraddica, in quanto al problema 21P di pag 541 dove dice di guardare per sfruttarne il risultato (inutile) dice che le cariche positive stanno al centro ma in tal modo il potenziale tra il cilindro ed il filo sarebbe di -850 V. Non vi sembra?