Sia ABC un triangolo, O il circocentro, M un punto sulla circonferenza circoscritta, appartenente all'arco minore AB. La retta per M perpendicolare a OA interseca AB,AC in K,L e la retta per M perpendicolare a OB interseca BA,BC in N,P.
Sapendo che MN = KL, trovare l'angolo $ ~ \angle MLP $ in funzione degli angoli di ABC.
Buon lavoro!
[edit: corretto da MLK a MLP, grazie pic]
Non solo angle chasing... Balkan 1991/1
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pic88
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Nessuno l'ha preso in considerazione, però è carino.
Siccome nel mio disegno MK<KM, mi comporto come se mancasse l'ipotesi di uguaglianza, e dimostro che:
$ MK^2=KL \cdot NP $
Anzitutto MK=MN (per angle chasing MNK è isoscele, gli angoli alla base nmisurano entrambi C).
Allora AKL è simile ad ABC (entrambi hanno C ed A come angoli). AK:KL=AC:BC
Costruisco Q, intersezione della retta MK con la circonferenza. AKQ è simile a MKB (di uguali hanno l'angolo c e quello che insiste su AM). Segue che AK:AQ=MK:MB
Essendo MK perpendicolare ad OA, abbiamo AM=AQ. Quindi la proporzione trovata prima si può scrivere come MK:AK=MB:AM.
Moltiplicando le due proporzioni ottengo MK:KL=AC*MB/(BC*AM)
Per simmetria, avrò anche MN:NP=BC*MA/(AC*MB), che combinata con la precedente dà la tesi.
Ponendo MK=KL avrò che NP=KL, MLP simile a MKN, allora l'angolo richiesto è ACB.
Siccome nel mio disegno MK<KM, mi comporto come se mancasse l'ipotesi di uguaglianza, e dimostro che:
$ MK^2=KL \cdot NP $
Anzitutto MK=MN (per angle chasing MNK è isoscele, gli angoli alla base nmisurano entrambi C).
Allora AKL è simile ad ABC (entrambi hanno C ed A come angoli). AK:KL=AC:BC
Costruisco Q, intersezione della retta MK con la circonferenza. AKQ è simile a MKB (di uguali hanno l'angolo c e quello che insiste su AM). Segue che AK:AQ=MK:MB
Essendo MK perpendicolare ad OA, abbiamo AM=AQ. Quindi la proporzione trovata prima si può scrivere come MK:AK=MB:AM.
Moltiplicando le due proporzioni ottengo MK:KL=AC*MB/(BC*AM)
Per simmetria, avrò anche MN:NP=BC*MA/(AC*MB), che combinata con la precedente dà la tesi.
Ponendo MK=KL avrò che NP=KL, MLP simile a MKN, allora l'angolo richiesto è ACB.