m,n naturali dalla russia con furore

[pi_greco_quadro]

Si provi che, dati $ m,n $ naturali, le due cose si coimplicano

$ \displaystyle (2^m-1)^2\mid 2^n-1 \Leftrightarrow m(2^m-1)\mid n $

@darkcrystal: oh è vero... ho invertito la relazione di destra.. corretto

[darkcrystal]

Veramente direi che almeno un verso della freccia sia falso... in effetti se vale la relazione di sinistra per un certo n', allora vale anche per kn' con k a piacere, perciò posso prendere n=kn' grande a piacere, il che chiaramente falsifica la parte di destra... (prendi per prova m=1)

Per l'altro verso ci sto pensando.

EDIT: e in effetti (il mio pensarci era andare a cena ) anche l'altro verso non torna... perchè, se fisso n, poi posso prendere m grande a piacere come multiplo di n per verificare la relazione di destra, ma allora a sinistra il divisore cresce indefinitamente mentre quello che andrebbe diviso sta fermo... quindi o stasera sono ancora più scemo del solito, oppure qualcosa non torna nel testo...

Ciao!

[darkcrystal]

Ora sembra avere più senso... per i soliti lemmi, dalla prima ho m|n (e anche dalla seconda, ovviamente...). Allora sia n=dm. Sostituendo e semplificando un po', dopo aver scomposto la roba della relazione a sinistra, le relazioni diventano
$ (2^m-1)^2|(2^m-1)(\sum_{i}^{d-1}(2^{mi})) $ e $ 2^m-1|d $.
Riscrivendo la prima in termini di moduli si ha $ 0 \equiv \sum_{i}2^{mi} \equiv \sum 1 = d \pmod{(2^m-1)} $ quindi le due relazioni sono equivalenti... mi sembra

Ciao!