Equazione... poco normale

[darkcrystal]

Dal test di ammissione 97/98, si determini in funzione di a e b, interi positivi pari, il numero di soluzioni reali di $ \displaystyle x^2+ab=x \cdot \sin(\pi x) \cdot (a+b) $
Buon lavoro

[gianmaria]

Notiamo che cambiando di segno ad x l’equazione non cambia; quindi se $ x_i $ è una soluzione lo è anche - $ x_i $ e possiamo inizialmente cercare le sole soluzioni non negative. Notato poi che x=0 non risolve l’equazione, possiamo dividere per x e cercare le intersezioni fra le curve $ y=x+\frac{ab}x $ e $ y=(a+b) \sin (\pi x) $; quest’ultima è una sinusoide che si annulla per tutte le x intere e raggiunge il massimo a+b per x=2k+$ \frac 12 $. La prima curva è facilissima per chi conosce lo studio di funzione; gli altri possono notare che y è sempre positiva (ci interessa solo x>0) e diventa grandissima quando x è grandissima o prossima a zero, con valori inferiori fra questi estremi; volendo possono anche ricordare che la somma di due numeri positivi con prodotto costante è minima quando i numeri sono uguali.
Affinché le due curve si incontrino è necessario che la prima non resti sopra al massimo della seconda, cioè che $ x+\frac{ab}x \le a+b $ da cui, supposto $ b \ge a $ , si ottiene $ a \le x \le b $ . Essendo a intero e pari, la sinusoide parte da zero per x=a, raggiunge il massimo per x=a+$ \frac12 $ e torna a zero per x=a+1, tagliando quindi due volte l’altra curva; lo stesso succede dopo ogni numero pari fra a e b. Ne consegue che vi sono b-a soluzioni positive e, per quanto detto inizialmente, altrettante negative.
Anche se a, b fossero stati entrambi dispari la risposta non sarebbe cambiata; l’unica ipotesi necessaria per questo ragionamento è che siano interi con somma pari.

[darkcrystal]

Perfetto è la mia stessa soluzione, ma ero alla ricerca di una conferma

Ciao!