p(x^2)=p(x-1)p(x), polinomio di boll

[salva90]

DIFFICULT:Trovare tutti i polinomi a coefficienti reali tali che $ p(x^2)=p(x-1)p(x) $ $ \forall x \in \mathbb{R} $
Anche questo direttamente da Parma, gara a premi, e per la precisione risolto (magnificamente) da boll in autobus

[darkcrystal]

Non so dove porti perchè non ho la forza di farlo... ma se x è radice di p(x), allora anche x^2 lo è

[edriv]

Continuo sulla strada di darkcrystal.
Intanto escludo i casi banali p(x) = 0,1, ora assumo p di grado positivo.
Se x è una radice, allora $ ~ p(x^2) = p(x)p(x-1) = 0 $ e quindi anche x^2 lo è.
Ma se il modulo di x è diverso da 0,1 allora riesco a costruire così una successione infinita di radici di modulo strettamente crescente!
Allora tutte le radici sono di modulo 1.

Se x è una radice, allora $ ~ p((x+1)^2) = p(x+1)p(x)=0 $, quindi anche (x+1)^2 è una radice.
Quindi (x+1)^2 ha modulo 1 o 0 e (x+1) ha modulo 1 o 0.
Però se 0 è una radice, lo è anche (0+1)^2, cioè 1, e anche (1+1)^2, cioè 4, ma ha modulo maggiore di 1. Quindi 0 non è una radice.
Quindi, se cerchiamo le radici, possiamo restringerci alle x tali che:
- x ha modulo 1
- x+1 ha modulo 1
Facendo un disegnino sul piano di Gauss, si vede subito che le uniche candidate sono le radici terze primitive dell'unità. E queste hanno la stessa molteplicità, poichè p è a coefficienti reali. Cioè $ ~ p(x) = \Phi_3(x)^n $, dove n è arbitrario e quella Phi rappresenta il 3^ polinomio ciclotomico $ ~ x^2+x+1 $.

Ma una volta verificato che $ ~ p(x^2) = x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1) = p(x)p(x-1) $, lo stesso funziona anche per $ ~(p(x))^n $.

[darkcrystal]

NOooooo edriv!!!! L'avevo risolto stanotteeeeee...
Spiego solo perchè le radici "candidate" sono quelle.
In effetti se $ \lambda $ è una radice di p(x), allora anche $ (\lambda+1)^2 $, come hai giustamente detto, lo è.
Il modulo di $ (\lambda+1)^2 $ deve ancora essere 1 (non può essere nè zero nè un numero diverso), e dunque anche il modulo di $ \lambda+1 $ è ancora uno. Ma poichè la radice che abbiamo scelto sta sulla crf di raggio uno, dobbiamo avere che , posto $ \lambda = \cos(\theta) + i \sin(\theta) $, $ \lambda + 1 = 1 + \cos(\theta) + i \sin(\theta) $ sta sulla crf, ossia $ (\cos \theta +1)^2 + \sin^2 (\theta)=1 $, e questa è una semplice equazione goniometrica la cui soluzione è veramente immediata, e ci dice $ \cos (\theta) = -\frac12 $, da cui si conclude.

[OT] mi sento veramente offeso ... non potevi essere a letto come le persone normali (me) a quell'ora? (ovviamente scherzo!)[/OT]