mi aiutate a fare quest'esercizio?:
siano n e k numeri naturali.
trovare per quante coppie di n,k vale:
(5^n+3^n)/[5^(n-1)+3^(n-1)]=k
quesito matematico
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exodd
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quesito matematico
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
questo problema toccava a me...
quindi una soluzione stupida la posto anch'io
$ \displaystyle\frac{5^n + 3^n}{5^{n-1} + 3^{n-1}} = k $
$ \displaystyle\frac{5^n + 3^n}{\frac{5^n}{5} + \frac{3^n}{3}} = k $
$ \displaystyle\frac{(15)5^n + (15)3^n}{(3)5^n + (5)3^n} = k $
$ \displaystyle\frac{(9)5^n + (15)3^n + (6)5^n}{(3)5^n + (5)3^n} = k $
$ \displaystyle\frac{(6)5^n}{(3)5^n + (5)3^n} = k - 3 $
$ (3)5^n = x $ $ (5)3^n = y $ $ k - 3 = z $
$ \displaystyle\frac{2x}{x + y} = z $
$ \displaystyle x = \frac{zy}{2 - z} $
Poichè sia n che k devono essere interi positivi e diversi da zero, l'unico valore che può assumere z è 1, quindi $ k = 4 $
$ \displaystyle\frac{5^n + 3^n}{5^{n-1} + 3^{n-1}} = 4 $
$ 5^n + 3^n - (4)5^{n-1} - (4)3^{n-1} = 0 $
$ \displaystyle\frac{1}{5}5^n - \frac{1}{3}3^n = 0 $
$ \displaystyle\frac{5^n}{3^n} = \frac{5}{3} $
$ n = 1 $
L'unica coppia possibile è quindi $ n = 4 $ $ k = 1 $
Spero di non aver sbagliato niente o ci faccio una brutta figura
EDIT: Ho notato che il post è leggermente incasinato...spero si capisca lo stesso...
quindi una soluzione stupida la posto anch'io$ \displaystyle\frac{5^n + 3^n}{5^{n-1} + 3^{n-1}} = k $
$ \displaystyle\frac{5^n + 3^n}{\frac{5^n}{5} + \frac{3^n}{3}} = k $
$ \displaystyle\frac{(15)5^n + (15)3^n}{(3)5^n + (5)3^n} = k $
$ \displaystyle\frac{(9)5^n + (15)3^n + (6)5^n}{(3)5^n + (5)3^n} = k $
$ \displaystyle\frac{(6)5^n}{(3)5^n + (5)3^n} = k - 3 $
$ (3)5^n = x $ $ (5)3^n = y $ $ k - 3 = z $
$ \displaystyle\frac{2x}{x + y} = z $
$ \displaystyle x = \frac{zy}{2 - z} $
Poichè sia n che k devono essere interi positivi e diversi da zero, l'unico valore che può assumere z è 1, quindi $ k = 4 $
$ \displaystyle\frac{5^n + 3^n}{5^{n-1} + 3^{n-1}} = 4 $
$ 5^n + 3^n - (4)5^{n-1} - (4)3^{n-1} = 0 $
$ \displaystyle\frac{1}{5}5^n - \frac{1}{3}3^n = 0 $
$ \displaystyle\frac{5^n}{3^n} = \frac{5}{3} $
$ n = 1 $
L'unica coppia possibile è quindi $ n = 4 $ $ k = 1 $
Spero di non aver sbagliato niente o ci faccio una brutta figura
EDIT: Ho notato che il post è leggermente incasinato...spero si capisca lo stesso...
Sì, il tuo risultato è giusto, Sherlock
(nell'ultima parte hai solo invertito le
variabili rispetto ai valori).
Si potrebbe anche procedere così.
Innanzitutto, scopriamo che:
$ \displaystyle 5>\frac{5^n+3^n}{5^{n-1}+3^{n-1}}>3 $.
ciò che equivale a dire che $ 5>3 $.
L'unico caso possibile, quindi, sarebbe:
$ \frac{5^n+3^n}{5^{n-1}+3^{n-1}} = 4 $
da cui ricaviamo subito:
$ 5^{n-1}=3^{n-1} $
che è vera solo per $ n=1 $.
(nell'ultima parte hai solo invertito le
variabili rispetto ai valori).
Si potrebbe anche procedere così.
Innanzitutto, scopriamo che:
$ \displaystyle 5>\frac{5^n+3^n}{5^{n-1}+3^{n-1}}>3 $.
ciò che equivale a dire che $ 5>3 $.
L'unico caso possibile, quindi, sarebbe:
$ \frac{5^n+3^n}{5^{n-1}+3^{n-1}} = 4 $
da cui ricaviamo subito:
$ 5^{n-1}=3^{n-1} $
che è vera solo per $ n=1 $.
Bruno
Il fatto che:
$ 5 > \frac{5^n+3^n}{5^{n-1}+3^{n-1}} $
è vero poiché:
$ 5\cdot (5^{n-1}+3^{n-1}) > 5^n+3^n $
cioè:
$ 5^n+5\cdot 3^{n-1} > 5^n+3\cdot 3^{n-1} $
quindi:
$ 5 > 3 $.
Per l'altra parte della limitazione, invece,
abbiamo successivamente:
$ \frac{5^n+3^n}{5^{n-1}+3^{n-1}}>3 $
$ 5^n+3^n > 3\cdot (5^{n-1}+3^{n-1}) $
$ 5^n+3^n > 3\cdot 5^{n-1}+3^n $
$ 5\cdot 5^{n-1} > 3\cdot 5^{n-1} $
e quindi, di nuovo:
$ 5>3 $.
Va meglio ora?
$ 5 > \frac{5^n+3^n}{5^{n-1}+3^{n-1}} $
è vero poiché:
$ 5\cdot (5^{n-1}+3^{n-1}) > 5^n+3^n $
cioè:
$ 5^n+5\cdot 3^{n-1} > 5^n+3\cdot 3^{n-1} $
quindi:
$ 5 > 3 $.
Per l'altra parte della limitazione, invece,
abbiamo successivamente:
$ \frac{5^n+3^n}{5^{n-1}+3^{n-1}}>3 $
$ 5^n+3^n > 3\cdot (5^{n-1}+3^{n-1}) $
$ 5^n+3^n > 3\cdot 5^{n-1}+3^n $
$ 5\cdot 5^{n-1} > 3\cdot 5^{n-1} $
e quindi, di nuovo:
$ 5>3 $.
Va meglio ora?
Bruno
