Percorsi e combinazioni

[CavalierFermat]

Quante sono i percorsi minimi dal pallino rosso a quello blu? Questo eserc. è inserito nel caitolo del Calcolo combinatorio ma io nn capisco come si fa...

Grazie a f(Gabriel) per avermi spiegato come si inserisce l'immagine!

[edriv]

Si fa così: tu sai che in un qualsiasi percorso minimo, ti sposterai esattamente 3 volte in alto e 7 volte verso destra.
D'altra parte, in qualsiasi percorso in cui vai 3 volte in alto e 7 a destra, dal pallino rosso arriverai in quello blu.
Quindi in definitiva basta che scegli, sui 10 spostamenti che dovrai fare, quali di questi saranno verso l'alto.
La risposta è quindi:
$ \displaystyle {10 \choose 3} = \frac{10\cdot 9\cdot 8}{1 \cdot 2\cdot 3} = 120 $.

[Jacobi]

Oppure potresti ragionare in questo modo: per andare dal pallino rosso a quello blu devi fare 3 spostamenti in alto e 7 a destra, e qualsiasi percorso fatto in questo modo ti portera dal pallino rosso a quello blu. Quindi devi trovare i possibili modi di permutare dieci oggetti, di cui 7 e 3 sono ripetuti, ossia: 10!/(7!*3!), che e' coincide col risultato di edriv.

[Ponnamperuma]

E' la stessa cosa, sono due scritture equivalenti dei coefficienti binomiali (per dimostrarlo, banalmente, è sufficiente levare i denominatori e riconoscere lo sviluppo di n!...)!

$ \displaystyle\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!} $.

Ciao!

[Jacobi]

Infatti le permutazioni di a elementi con n e a-n ripetuti sono equivalenti alle combinazioni di a elementi presi a n a n.

Ciao