Determinare per quali valori naturali di n il numero $ n^{2006}+n+1 $ è primo.
Buona fortuna, e non usate le radici terze dell'unità
Primi parmigiani ormai vecchi di un anno
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Dalla Fake edition n^3, ecco un altro esercizietto!
Determinare per quali valori naturali di n il numero $ n^{2006}+n+1 $ è primo.
Buona fortuna, e non usate le radici terze dell'unità
Determinare per quali valori naturali di n il numero $ n^{2006}+n+1 $ è primo.
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darkcrystal
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- Località: Chiavari
... dopo aver scoperto che $ n^2+n+1 | n^{2006}+n+1 $ sono stato molto contento di rileggere il tuo commento...
Comunque sono semplicemente conti: $ n^{2006}+n+1 \equiv 0 \pmod {n^2+n+1} $ vuol dire $ n^{2006} \equiv n^2 \pmod {n^2+n+1} $, ossia $ n^{2004} \equiv 1 \pmod {n^2+n+1} $. Ma $ n^2+n+1 | (n^3-1) | (n^{2004}-1) $
(Ah, da questo segue banalmente che l'unica soluzione è n=1)
Ciao!
Comunque sono semplicemente conti: $ n^{2006}+n+1 \equiv 0 \pmod {n^2+n+1} $ vuol dire $ n^{2006} \equiv n^2 \pmod {n^2+n+1} $, ossia $ n^{2004} \equiv 1 \pmod {n^2+n+1} $. Ma $ n^2+n+1 | (n^3-1) | (n^{2004}-1) $
(Ah, da questo segue banalmente che l'unica soluzione è n=1)
Ciao!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
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darkcrystal
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E' la stessa cosa di qua: viewtopic.php?t=7924 
Darkcrystal non intendeva che "per ogni n intero, valgono quelle congruenze (tra interi)", ma quelle congruenze le stava proprio facendo con i polinomi!
Le congruenze tra polinomi si definiscono allo stesso modo: $ \displaystyle P(x) \equiv Q(x) \pmod{M(x)} \Leftrightarrow M(x) \mid P(x) - Q(x) $ (dove anche la divisibilità è tra polinomi).
E vi dirò di più: visto che $ \displaystyle n^2+n+1 $ è irriducibile nei razionali, potete anche trovare l'inverso di un polinomio a coefficienti razionali mod $ \displaystyle n^2+n+1 $! Ma questo non ci serve a niente
Darkcrystal non intendeva che "per ogni n intero, valgono quelle congruenze (tra interi)", ma quelle congruenze le stava proprio facendo con i polinomi!
Le congruenze tra polinomi si definiscono allo stesso modo: $ \displaystyle P(x) \equiv Q(x) \pmod{M(x)} \Leftrightarrow M(x) \mid P(x) - Q(x) $ (dove anche la divisibilità è tra polinomi).
E vi dirò di più: visto che $ \displaystyle n^2+n+1 $ è irriducibile nei razionali, potete anche trovare l'inverso di un polinomio a coefficienti razionali mod $ \displaystyle n^2+n+1 $! Ma questo non ci serve a niente